> restart:with(difforms): > defform(psi[1]=1,psi[2]=1,psi[3]=1,psi[4]=1, > psi[5]=1,rho[1]=1,rho[2]=1,rho[3]=1,rho[4]=1,rho[5]=1, > eta[1]=1,eta[2]=1,eta[3]=1,eta[4]=1,eta[5]=1,l[1]=0,l[2]=0,l[3]=0,l[4]=0,l5=0, > a[1]=0,a[2]=0,a[3]=0,a[4]=0,a5=0,sigma=0, > p[3,1]=0,p[3,2]=0, > p[4,1]=0,p[4,2]=0,p[5,1]=0,p[5,2]=0,mu=0,m1=0,m3=0): This is a Maple file intended to be read in conjunction with "Exterior differential systems and billiards", which appeared in "Geometry integrability and quantization", Sophia 2006 - a .pdf file of this article is available on arXiv and Landsberg's homepage www.math.tamu.edu/~jml This research is supported by NSF grant DMS 0505468. This file studies the n=4 case, above I just declared certain variables to be differential forms of degree 0 (functions) or 1 (1-forms). Next I introduce some shorthand for the signs and cosines > s1:=sin(a[1]):s2:=sin(a[2]):s3:=sin(a[3]):s4:=sin(a[4]):s5:=sin(a5): > c1:=cos(a[1]):c2:=cos(a[2]):c3:=cos(a[3]):c4:=cos(a[4]):c5:=cos(a5): Next record the derivatives of the various forms in terms of our 8 variables a[1],.,a[4], l[1],..,l[4]. > rhosubs:={rho[1]=(-c2*eta[2]-c1*eta[1])/l[1],rho[2]=(-c3*eta[3]-c2*eta[2])/l[2], > rho[3]=(-c4*eta[4]-c3*eta[3])/l[3],rho[4]=(-c1*eta[1]-c4*eta[4])/l[4]}; > dpsisubs:={d(psi[1])=-(1/2)*(rho[1]+rho[4])&^eta[1],d(psi[2])=-(1/2)*(rho[2]+rho[1])&^eta[2], > d(psi[3])=-(1/2)*(rho[3]+rho[2])&^eta[3],d(psi[4])=-(1/2)*(rho[4]+rho[3])&^eta[4]}; > etasubs:={eta[3]=p[3,1]*eta[1]+p[3,2]*eta[2], > eta[4]=p[4,1]*eta[1]+p[4,2]*eta[2]}; > dl1:=s2*eta[2]-s1*eta[1];dl2:=s3*eta[3]-s2*eta[2];dl3:=s4*eta[4]-s3*eta[3]; > dl4:=s1*eta[1]-s4*eta[4]; > dlsubs:={d(l[1])= dl1 ,d(l[2])= dl2 ,d(l[3])= dl3 ,d(l[4])= dl4 }; > da1:=simpform(subs(rhosubs,(1/2)*(rho[1]-rho[4]))): > da2:=simpform(subs(rhosubs,(1/2)*(rho[2]-rho[1]))): > da3:=simpform(subs(rhosubs,(1/2)*(rho[3]-rho[2]))): > da4:=simpform(subs(rhosubs,(1/2)*(rho[4]-rho[3]))): > dasubs:={d(a[1])=da1,d(a[2])=da2,d(a[3])=da3,d(a[4])=da4}; > detasubs:={d(eta[1])=0,d(eta[2])=0,d(eta[3])=0,d(eta[4])=0}; > dallsubs:=detasubs union dasubs union dlsubs: -cos(a[2]) eta[2] - cos(a[1]) eta[1] rhosubs := {rho[1] = ------------------------------------, l[1] -cos(a[3]) eta[3] - cos(a[2]) eta[2] rho[2] = ------------------------------------, l[2] -cos(a[4]) eta[4] - cos(a[3]) eta[3] rho[3] = ------------------------------------, l[3] -cos(a[1]) eta[1] - cos(a[4]) eta[4] rho[4] = ------------------------------------} l[4] dpsisubs := { d(psi[1]) = -1/2 (rho[1] &^ eta[1]) - 1/2 (rho[4] &^ eta[1]), d(psi[2]) = -1/2 (rho[2] &^ eta[2]) - 1/2 (rho[1] &^ eta[2]), d(psi[3]) = -1/2 (rho[3] &^ eta[3]) - 1/2 (rho[2] &^ eta[3]), d(psi[4]) = -1/2 (rho[4] &^ eta[4]) - 1/2 (rho[3] &^ eta[4])} etasubs := {eta[3] = p[3, 1] eta[1] + p[3, 2] eta[2], eta[4] = p[4, 1] eta[1] + p[4, 2] eta[2]} dl1 := sin(a[2]) eta[2] - sin(a[1]) eta[1] dl2 := sin(a[3]) eta[3] - sin(a[2]) eta[2] dl3 := sin(a[4]) eta[4] - sin(a[3]) eta[3] dl4 := sin(a[1]) eta[1] - sin(a[4]) eta[4] dlsubs := {d(l[1]) = sin(a[2]) eta[2] - sin(a[1]) eta[1], d(l[2]) = sin(a[3]) eta[3] - sin(a[2]) eta[2], d(l[3]) = sin(a[4]) eta[4] - sin(a[3]) eta[3], d(l[4]) = sin(a[1]) eta[1] - sin(a[4]) eta[4]} cos(a[1]) (-l[4] + l[1]) eta[1] dasubs := {d(a[1]) = 1/2 ------------------------------- l[1] l[4] cos(a[2]) eta[2] cos(a[4]) eta[4] - 1/2 ---------------- + 1/2 ----------------, d(a[2]) = l[1] l[4] cos(a[1]) eta[1] cos(a[2]) (l[1] - l[2]) eta[2] 1/2 ---------------- - 1/2 ------------------------------ l[1] l[2] l[1] cos(a[3]) eta[3] cos(a[2]) eta[2] - 1/2 ----------------, d(a[3]) = 1/2 ---------------- l[2] l[2] cos(a[3]) (l[2] - l[3]) eta[3] cos(a[4]) eta[4] - 1/2 ------------------------------ - 1/2 ----------------, l[3] l[2] l[3] cos(a[1]) eta[1] cos(a[3]) eta[3] d(a[4]) = -1/2 ---------------- + 1/2 ---------------- l[4] l[3] cos(a[4]) (l[3] - l[4]) eta[4] - 1/2 ------------------------------} l[4] l[3] detasubs := {d(eta[1]) = 0, d(eta[2]) = 0, d(eta[3]) = 0, d(eta[4]) = 0} Now I calculate the space of integral elements to our orignal system at a point, it turns out to be one dimensional > simpform(subs(etasubs,subs(rhosubs, (subs(dpsisubs,d(psi[1]))) )));eq1:=scalarpart(%); > simpform(subs(etasubs,subs(rhosubs, (subs(dpsisubs,d(psi[2]))) ))):eq2:=scalarpart(%); > simpform(subs(etasubs,subs(rhosubs, (subs(dpsisubs,d(psi[3]))) ))):eq3:=scalarpart(%); > psols:=solve({eq1,eq2,eq3},{p[3,1],p[4,2],p[4,1]}); 1/2 (cos(a[2]) l[4] + cos(a[4]) p[4, 2] l[1]) (eta[2] &^ eta[1])/( l[1] l[4]) cos(a[2]) l[4] + cos(a[4]) p[4, 2] l[1] eq1 := 1/2 --------------------------------------- l[1] l[4] cos(a[3]) p[3, 1] l[1] + cos(a[1]) l[2] eq2 := 1/2 --------------------------------------- l[2] l[1] eq3 := -1/2 (-cos(a[4]) l[2] p[3, 2] p[4, 1] + cos(a[4]) l[2] p[3, 1] p[4, 2] + p[3, 1] cos(a[2]) l[3])/( l[3] l[2]) cos(a[1]) l[2] psols := {p[3, 1] = - --------------, cos(a[3]) l[1] cos(a[1]) cos(a[2]) (l[2] l[4] - l[3] l[1]) p[4, 1] = -------------------------------------------, 2 cos(a[4]) p[3, 2] cos(a[3]) l[1] cos(a[2]) l[4] p[4, 2] = - --------------} cos(a[4]) l[1] Here is the prolonged ideal, or more precisely, the two new forms added to the prolonged ideal. I sometimes call the forms that are zero phi3 and phi4 in what follows > > I2:={eta[3]=subs(psols,p[3,1]*eta[1]+p[3,2]*eta[2]), > eta[4]=subs(psols,p[4,1]*eta[1]+p[4,2]*eta[2])}; cos(a[1]) l[2] eta[1] I2 := {eta[3] = - --------------------- + p[3, 2] eta[2], eta[4] = cos(a[3]) l[1] cos(a[1]) cos(a[2]) (l[2] l[4] - l[3] l[1]) eta[1] -------------------------------------------------- 2 cos(a[4]) p[3, 2] cos(a[3]) l[1] cos(a[2]) l[4] eta[2] - ---------------------} cos(a[4]) l[1] Now I calculate the space of integral elements of our prolonged system, I need to introduce new variables > defform(p[3,2,1]=0,p[3,2,2]=0): > dpsubs:={d(p[3,2])=p[3,2,1]*eta[1]+p[3,2,2]*eta[2]}; dpsubs := {d(p[3, 2]) = p[3, 2, 1] eta[1] + p[3, 2, 2] eta[2]} > > dphi3:=simpform( subs(dpsubs,subs(I2,subs(dallsubs,d(subs(I2, (eta[3]))))))): > dphi3:=simpform(dphi3);ephi3:=numer(scalarpart(dphi3)); dphi3 := -1/2 (2 l[2] sin(a[1]) cos(a[2]) cos(a[3]) l[3] + 3 cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] sin(a[3]) p[3, 2] - 2 cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] sin(a[2]) + cos(a[1]) sin(a[3]) cos(a[2]) l[3] l[1] - cos(a[1]) sin(a[3]) p[3, 2] cos(a[3]) l[1] l[2] + cos(a[1]) sin(a[3]) cos(a[2]) l[2] l[4] - 2 cos(a[1]) l[2] sin(a[2]) cos(a[3]) l[3] 2 2 + 2 p[3, 2, 1] cos(a[3]) l[1] l[3]) (eta[2] &^ eta[1]) / 2 2 / (cos(a[3]) l[1] l[3]) / ephi3 := -2 l[2] sin(a[1]) cos(a[2]) cos(a[3]) l[3] - 3 cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] sin(a[3]) p[3, 2] + 2 cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] sin(a[2]) - cos(a[1]) sin(a[3]) cos(a[2]) l[3] l[1] + cos(a[1]) sin(a[3]) p[3, 2] cos(a[3]) l[1] l[2] - cos(a[1]) sin(a[3]) cos(a[2]) l[2] l[4] + 2 cos(a[1]) l[2] sin(a[2]) cos(a[3]) l[3] 2 2 - 2 p[3, 2, 1] cos(a[3]) l[1] l[3] > dphi4:=simpform( subs(dpsubs,subs(I2,subs(dallsubs,d(subs(I2, (eta[4]))))))): > dphi4:=simpform(dphi4):ephi4:=simplify(numer(scalarpart(dphi4))); 2 2 ephi4 := 2 cos(a[2]) l[4] sin(a[1]) cos(a[4]) p[3, 2] cos(a[3]) 2 l[1] l[2] l[3] - l[4] sin(a[2]) cos(a[1]) cos(a[4]) p[3, 2] 2 cos(a[3]) l[1] l[2] l[3] - 2 2 2 cos(a[1]) cos(a[2]) sin(a[3]) cos(a[4]) p[3, 2] l[3] l[1] + 2 2 2 cos(a[1]) cos(a[2]) sin(a[3]) cos(a[4]) p[3, 2] l[2] l[4] - 2 2 2 2 cos(a[1]) sin(a[2]) cos(a[4]) p[3, 2] cos(a[3]) l[3] l[1] 2 - 2 cos(a[2]) sin(a[1]) cos(a[4]) p[3, 2] cos(a[3]) l[2] 2 2 l[3] l[1] + 2 cos(a[2]) sin(a[1]) cos(a[4]) p[3, 2] 2 cos(a[3]) l[2] l[3] l[4] - 5 cos(a[1]) sin(a[2]) cos(a[4]) 2 p[3, 2] cos(a[3]) l[3] l[2] l[4] cos(a[2]) + 3 cos(a[1]) 2 sin(a[2]) cos(a[4]) p[3, 2] cos(a[3]) l[3] l[1] cos(a[2]) 2 l[2] - cos(a[1]) sin(a[2]) cos(a[4]) p[3, 2] cos(a[3]) l[3] 2 l[1] cos(a[2]) + 3 cos(a[1]) cos(a[2]) sin(a[3]) cos(a[4]) 2 2 p[3, 2] l[3] l[1] cos(a[3]) l[2] - cos(a[1]) cos(a[2]) 2 2 sin(a[3]) cos(a[4]) p[3, 2] l[2] l[4] cos(a[3]) l[1] - 2 2 2 cos(a[1]) cos(a[2]) sin(a[3]) cos(a[4]) p[3, 2] l[3] l[1] 2 cos(a[3]) + 2 cos(a[1]) cos(a[2]) sin(a[4]) p[3, 2] cos(a[3]) l[2] l[4] l[3] l[1] - 2 cos(a[1]) cos(a[2]) 2 p[3, 2, 2] cos(a[4]) cos(a[3]) l[1] l[2] l[3] l[4] + 2 2 2 cos(a[1]) cos(a[2]) sin(a[4]) p[3, 2] cos(a[3]) l[2] l[3] 2 2 l[1] - 2 cos(a[1]) cos(a[2]) sin(a[4]) p[3, 2] cos(a[3]) 2 2 2 l[2] l[1] l[3] + 2 cos(a[2]) p[3, 2] cos(a[3]) l[2] l[3] 2 sin(a[1]) cos(a[4]) l[1] + 2 cos(a[1]) cos(a[2]) p[3, 2, 2] 2 2 cos(a[4]) cos(a[3]) l[1] l[2] l[3] + 3 cos(a[1]) cos(a[2]) 2 sin(a[3]) cos(a[4]) p[3, 2] l[2] l[4] cos(a[3]) l[1] l[3] - cos(a[1]) sin(a[2]) cos(a[4]) p[3, 2] cos(a[3]) l[3] l[2] l[4] cos(a[2]) l[1] > zephi4:=collect(simplify(subs({cos(a[1])=0,sin(a[1])=1},ephi4)),{p[3,2]});zephi3:=collect(simplify(subs({cos(a[1])=0,sin(a[1])=1},ephi3)),{p[3,2]}); zephi4 := -2 cos(a[2]) cos(a[4]) cos(a[3]) l[2] l[3] 2 2 (-l[4] cos(a[3]) l[1] - cos(a[3]) l[1] ) p[3, 2] - 2 cos(a[2]) cos(a[4]) cos(a[3]) l[2] l[3] (cos(a[2]) l[3] l[1] - cos(a[2]) l[2] l[4]) p[3, 2] zephi3 := -2 cos(a[3]) l[3] 2 (cos(a[2]) l[2] + p[3, 2, 1] cos(a[3]) l[1] ) ppsolns are the solutions - there is a unique integral element at each point - note below if one collects the terms the expressions for these derivatives are not so complicated > zppsolns:=simplify(solve({zephi3,zephi4},{p[3,2,1],p[3,2]})); cos(a[2]) l[2] zppsolns := {p[3, 2] = 0, p[3, 2, 1] = - ---------------} 2 cos(a[3]) l[1] > solve(collect(zephi4/p[3,2],p[3,2]),p[3,2]); cos(a[2]) (l[2] l[4] - l[3] l[1]) - --------------------------------- cos(a[3]) l[1] (l[1] + l[4]) > thus the two values of p[3,2] over a point where \a_1=Pi/2 are 0 and the above > ppsolns:=simplify(solve({ephi3,ephi4},{p[3,2,1],p[3,2,2]})); > EF:=collect( simplify(subs(ppsolns,p[3,2,1])) ,{c1,s3,c3,c2,s2,p[3,2]});EE:=coeff(EF,p[3,2]);FF:=collect(EF-EE*p[3,2],{c1,s3,c3,c2,s2}); ppsolns := {p[3, 2, 1] = -1/2 ( 2 l[2] sin(a[1]) cos(a[2]) cos(a[3]) l[3] + 3 cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] sin(a[3]) p[3, 2] - 2 cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] sin(a[2]) + cos(a[1]) sin(a[3]) cos(a[2]) l[3] l[1] - cos(a[1]) sin(a[3]) p[3, 2] cos(a[3]) l[1] l[2] + cos(a[1]) sin(a[3]) cos(a[2]) l[2] l[4] 2 - 2 cos(a[1]) l[2] sin(a[2]) cos(a[3]) l[3])/(l[1] l[3] 2 cos(a[3]) ), p[3, 2, 2] = 1/2 p[3, 2] (-2 cos(a[2]) l[4] 2 sin(a[1]) cos(a[4]) p[3, 2] cos(a[3]) l[1] l[2] l[3] + l[4] 2 sin(a[2]) cos(a[1]) cos(a[4]) p[3, 2] cos(a[3]) l[1] l[2] 2 2 2 l[3] + cos(a[1]) cos(a[2]) sin(a[3]) cos(a[4]) l[3] l[1] 2 2 2 - cos(a[1]) cos(a[2]) sin(a[3]) cos(a[4]) l[2] l[4] + 2 2 2 cos(a[1]) sin(a[2]) cos(a[4]) p[3, 2] cos(a[3]) l[3] l[1] 2 2 + 2 cos(a[2]) sin(a[1]) cos(a[4]) cos(a[3]) l[2] l[3] l[1] 2 2 - 2 cos(a[2]) sin(a[1]) cos(a[4]) cos(a[3]) l[2] l[3] l[4] 2 + 5 cos(a[1]) sin(a[2]) cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[2] l[4] 2 cos(a[2]) - 3 cos(a[1]) sin(a[2]) cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] cos(a[2]) l[2] + 2 2 cos(a[1]) sin(a[2]) cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] cos(a[2]) - 3 cos(a[1]) cos(a[2]) sin(a[3]) cos(a[4]) p[3, 2] l[3] 2 l[1] cos(a[3]) l[2] + cos(a[1]) cos(a[2]) sin(a[3]) 2 cos(a[4]) p[3, 2] l[2] l[4] cos(a[3]) l[1] + cos(a[1]) 2 2 cos(a[2]) sin(a[3]) cos(a[4]) p[3, 2] l[3] l[1] cos(a[3]) 2 - 2 cos(a[1]) cos(a[2]) sin(a[4]) cos(a[3]) l[2] l[4] l[3] l[1] 2 2 - 2 cos(a[1]) cos(a[2]) sin(a[4]) cos(a[3]) l[2] l[3] l[1] 2 + 2 cos(a[1]) cos(a[2]) sin(a[4]) p[3, 2] cos(a[3]) l[2] 2 2 l[1] l[3] - 2 cos(a[2]) p[3, 2] cos(a[3]) l[2] l[3] 2 sin(a[1]) cos(a[4]) l[1] - 3 cos(a[1]) cos(a[2]) sin(a[3]) cos(a[4]) p[3, 2] l[2] l[4] cos(a[3]) l[1] l[3] + cos(a[1]) sin(a[2]) cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[2] l[4] cos(a[2]) l[1])/ (l[2] l[3] l[1] cos(a[4]) cos(a[3]) cos(a[2]) cos(a[1]) (-l[2] l[4] + l[3] l[1]))} (-l[1] l[2] + 3 l[3] l[1]) sin(a[3]) cos(a[1]) p[3, 2] EF := -1/2 ------------------------------------------------------ 2 l[1] l[3] cos(a[3]) / (l[2] l[4] + l[3] l[1]) sin(a[3]) cos(a[2]) + |-1/2 ------------------------------------------- | 2 2 \ l[1] l[3] cos(a[3]) (-2 l[3] l[1] - 2 l[2] l[3]) sin(a[2])\ - 1/2 --------------------------------------| cos(a[1]) 2 | l[1] l[3] cos(a[3]) / l[2] sin(a[1]) cos(a[2]) - ------------------------ 2 cos(a[3]) l[1] (-l[1] l[2] + 3 l[3] l[1]) sin(a[3]) cos(a[1]) EE := -1/2 ---------------------------------------------- 2 l[1] l[3] cos(a[3]) / (l[2] l[4] + l[3] l[1]) sin(a[3]) cos(a[2]) FF := |-1/2 ------------------------------------------- | 2 2 \ l[1] l[3] cos(a[3]) (-2 l[3] l[1] - 2 l[2] l[3]) sin(a[2])\ - 1/2 --------------------------------------| cos(a[1]) 2 | l[1] l[3] cos(a[3]) / l[2] sin(a[1]) cos(a[2]) - ------------------------ 2 cos(a[3]) l[1] > GH:=collect(simplify(subs(ppsolns,p[3,2,2])),{c1,s3,c3,c2,s2,p[3,2]});GG:=coeff(GH,p[3,2]^2);HH:=coeff(GH,p[3,2]); /sin(a[4]) l[1] cos(a[3]) 2 GH := |------------------------ + 1/2 (cos(a[4]) l[2] l[4] l[1] \ cos(a[4]) %1 2 + %2 - 3 cos(a[4]) l[3] l[1] l[2] - 3 cos(a[4]) l[2] l[4] l[1] l[3]) sin(a[3])/(l[2] l[3] l[1] cos(a[4]) %1) + (cos(a[4]) l[2] l[4] l[1] l[3] + %2) sin(a[2]) cos(a[3]) 1/2 -------------------------------------------------------- l[2] l[3] l[1] cos(a[4]) %1 cos(a[2]) + 1/2 (-2 l[4] sin(a[1]) cos(a[4]) l[1] l[2] l[3] 2 - 2 l[2] l[3] sin(a[1]) cos(a[4]) l[1] ) cos(a[3])/(l[2] // \ 2 || l[3] l[1] cos(a[4]) %1 cos(a[1]))| p[3, 2] + ||1/2 ( / \\ -2 sin(a[4]) l[2] l[4] l[3] l[1] 2 - 2 sin(a[4]) l[2] l[3] l[1])/(l[2] l[3] l[1] cos(a[4]) %1) 2 2 \ (-cos(a[4]) l[2] l[4] + %2) sin(a[3])| + 1/2 ---------------------------------------| cos(a[2]) + l[2] l[3] l[1] cos(a[4]) %1 cos(a[3]) / 2 1/2 (%2 + 5 cos(a[4]) l[3] l[2] l[4] 2 - 3 cos(a[4]) l[3] l[1] l[2] + cos(a[4]) l[2] l[4] l[1] l[3]) sin(a[2])/(l[2] l[3] l[1] 2 cos(a[4]) %1) + 1/2 (2 sin(a[1]) cos(a[4]) l[2] l[3] l[1] 2 - 2 sin(a[1]) cos(a[4]) l[2] l[3] l[4]) cos(a[2])/(l[2] \ | l[3] l[1] cos(a[4]) %1 cos(a[1]))| p[3, 2] / %1 := -l[2] l[4] + l[3] l[1] 2 2 %2 := cos(a[4]) l[3] l[1] sin(a[4]) l[1] cos(a[3]) 2 GG := ------------------------ + 1/2 (cos(a[4]) l[2] l[4] l[1] cos(a[4]) %1 2 2 2 + cos(a[4]) l[3] l[1] - 3 cos(a[4]) l[3] l[1] l[2] - 3 cos(a[4]) l[2] l[4] l[1] l[3]) sin(a[3])/(l[2] l[3] l[1] cos(a[4]) %1) + 1/2 2 2 (cos(a[4]) l[2] l[4] l[1] l[3] + cos(a[4]) l[3] l[1] ) sin(a[2]) cos(a[3])/(l[2] l[3] l[1] cos(a[4]) %1 cos(a[2])) + 1/2 (-2 l[4] sin(a[1]) cos(a[4]) l[1] l[2] l[3] 2 - 2 l[2] l[3] sin(a[1]) cos(a[4]) l[1] ) cos(a[3])/(l[2] l[3] l[1] cos(a[4]) %1 cos(a[1])) %1 := -l[2] l[4] + l[3] l[1] / | HH := |1/2 (-2 sin(a[4]) l[2] l[4] l[3] l[1] \ 2 - 2 sin(a[4]) l[2] l[3] l[1])/(l[2] l[3] l[1] cos(a[4]) %1) + 1/2 2 2 2 2 \ (-cos(a[4]) l[2] l[4] + cos(a[4]) l[3] l[1] ) sin(a[3])| ----------------------------------------------------------| l[2] l[3] l[1] cos(a[4]) %1 cos(a[3]) / 2 2 cos(a[2]) + 1/2 (cos(a[4]) l[3] l[1] 2 2 + 5 cos(a[4]) l[3] l[2] l[4] - 3 cos(a[4]) l[3] l[1] l[2] + cos(a[4]) l[2] l[4] l[1] l[3]) sin(a[2])/(l[2] l[3] l[1] 2 cos(a[4]) %1) + 1/2 (2 sin(a[1]) cos(a[4]) l[2] l[3] l[1] 2 - 2 sin(a[1]) cos(a[4]) l[2] l[3] l[4]) cos(a[2])/(l[2] l[3] l[1] cos(a[4]) %1 cos(a[1])) %1 := -l[2] l[4] + l[3] l[1] > GG:=simplify(GG):HH:=simplify(HH): Note that p32 appears linearly in the equation for p[3,2,1] and quadratically in the eqn for p[3,2,2] but there is no deg 0 term in the p[3,2,2] eqn. Next I calculate 0=d^2(p[3,2])= d(p[3,2,1]eta[1] + p[3,2,2]eta[2]) to obtain a new scalar equation involving our base variables and p[3,2] which is quadratic in p[3,2]. Thus over any point in the original manifold, there are two integral elements. Afterwards, letting xp[3,2] denote the solved for p[3,2], we need to see if we actually have d(xp[3,2])= p[3,2,1]eta[1] + p[3,2,2]eta[2]. > dmueqn:=simpform( subs(dpsubs,subs(I2,subs(dallsubs,d(subs( ppsolns,p[3,2,1]*eta[1]+p[3,2,2]*eta[2])))))): > dmueqn:=simpform(dmueqn):ddmueqn:=subs(ppsolns,numer(scalarpart(dmueqn))): since the equation is complicated, I look at each coeffiecient. I write the equations in two different ways - collect wrt the sines and cosines, and collected wrt the side lengths. > dmueqn2:=simplify(coeff(ddmueqn,p[3,2]^2)): > > dmueqn1:=simplify(coeff(ddmueqn,p[3,2])): > > dmueqn0:=simplify(ddmueqn-dmueqn2*p[3,2]^2-dmueqn1*p[3,2]): > > simplify(ddmueqn- dmueqn2*p[3,2]^2-dmueqn1*p[3,2]-dmueqn0); > > 0 > collect(dmueqn2,{c1,c2,c3,c4,s1,s2,s3,s4}); 3 2 3 2 2 4 ((2 (-l[1] l[2] l[4] + l[1] l[3] l[2]) l[3] l[1] cos(a[3]) + 2 2 2 2 2 (2 l[1] l[3] l[4] l[2] + 2 l[1] l[3] l[4] l[2] ) l[3] 2 3 l[1] sin(a[4]) sin(a[3]) cos(a[4]) cos(a[3]) + 2 ( 3 2 2 2 -l[1] l[2] l[4] - 2 l[1] l[3] l[4] l[2] 2 3 2 2 - l[1] l[3] l[4] - l[1] l[3] l[4] l[2] 2 2 2 2 - l[1] l[3] l[4] l[2] - 2 l[1] l[3] l[4] l[2] ) l[3] 2 2 2 2 l[1] cos(a[4]) cos(a[3]) ) cos(a[2]) + 2 2 2 2 2 (2 l[1] l[3] l[4] l[2] + 2 l[1] l[3] l[4] l[2]) l[3] 2 2 3 l[1] sin(a[3]) sin(a[2]) cos(a[4]) cos(a[3]) cos(a[2]) + 2 2 3 3 2 2 2 (-l[1] l[3] l[4] + l[3] l[4] l[2] ) l[3] l[1] cos(a[4]) 4 2 cos(a[3]) ) cos(a[1]) + (2 2 2 2 2 (-2 l[1] l[3] l[4] l[2] - 2 l[1] l[3] l[4] l[2] ) l[3] 2 4 2 l[1] sin(a[4]) sin(a[1]) cos(a[4]) cos(a[3]) cos(a[2]) + 2 2 2 2 2 (-2 l[1] l[3] l[4] l[2] - 2 l[1] l[3] l[4] l[2]) l[3] 2 2 4 l[1] sin(a[2]) sin(a[1]) cos(a[4]) cos(a[3]) cos(a[2])) 2 2 cos(a[1]) + 2 (2 l[1] l[3] l[4] l[2] 2 2 3 2 + l[1] l[3] l[4] l[2] + l[1] l[3] l[2] 2 2 3 2 + 2 l[1] l[3] l[4] l[2] + l[3] l[4] l[2] 2 2 2 2 4 + l[1] l[3] l[4] l[2] ) l[3] l[1] cos(a[4]) cos(a[3]) 2 cos(a[2]) > collect(dmueqn1,{c1,c2,c3,c4,s1,s2,s3,s4}); 2 2 2 2 2 2 (((4 (-3 l[1] l[3] l[4] l[2] - 3 l[1] l[4] l[3] l[2] 2 2 2 2 3 + 3 l[1] l[3] l[2] l[4] + 3 l[1] l[3] l[4] l[2] 3 2 2 2 2 - 3 l[1] l[3] l[2] l[4] + 3 l[1] l[3] l[4] l[2] 3 2 3 2 - 3 l[1] l[3] l[4] l[2] + 3 l[1] l[3] l[2] l[4]) l[3] 2 3 3 3 2 l[1] cos(a[4]) + 4 (l[1] l[2] l[4] - l[1] l[3] l[2] l[4] 3 2 3 3 + l[1] l[3] l[2] l[4] - l[1] l[3] l[2]) l[3] l[1]) 3 2 2 2 cos(a[3]) + 4 (-4 l[1] l[3] l[4] l[2] 2 2 2 3 2 + l[1] l[3] l[4] l[2] + 3 l[1] l[3] l[2] l[4] 2 2 2 3 2 + l[1] l[3] l[2] l[4] - 2 l[1] l[3] l[4] l[2] 2 3 3 2 + l[1] l[3] l[4] l[2] - 2 l[1] l[3] l[2] l[4] 2 2 2 - 2 l[1] l[4] l[3] l[2] ) l[3] l[1] sin(a[4]) sin(a[3]) 2 3 2 cos(a[4]) cos(a[3]) + 4 (l[1] l[3] l[4] l[2] 3 3 3 2 + l[1] l[2] l[4] - l[1] l[3] l[2] l[4] 3 3 2 - l[1] l[3] l[4]) l[3] l[1] cos(a[4]) cos(a[3])) 3 3 2 cos(a[2]) + (4 (2 l[1] l[3] l[2] l[4] 2 2 2 2 3 - 2 l[1] l[3] l[2] l[4] - 2 l[1] l[3] l[4] l[2] 3 2 3 2 - 2 l[1] l[3] l[2] l[4] + 2 l[1] l[3] l[4] l[2] 2 2 2 2 2 2 + 2 l[1] l[3] l[4] l[2] - 2 l[1] l[3] l[4] l[2] 2 2 2 + 2 l[1] l[4] l[3] l[2] ) l[3] l[1] sin(a[4]) sin(a[2]) 3 3 2 cos(a[4]) cos(a[3]) + 4 (-3 l[1] l[3] l[4] l[2] 3 2 2 2 2 - l[1] l[3] l[2] l[4] + 2 l[1] l[3] l[2] l[4] 2 2 2 3 2 - l[1] l[4] l[3] l[2] + 2 l[1] l[3] l[2] l[4] 2 2 2 2 2 2 - l[1] l[3] l[4] l[2] + 4 l[1] l[3] l[4] l[2] 2 3 + 2 l[1] l[3] l[4] l[2]) l[3] l[1] sin(a[3]) sin(a[2]) 2 2 2 2 3 cos(a[4]) cos(a[3]) ) cos(a[2]) + 4 (-l[1] l[3] l[4] l[2] 3 3 3 3 - l[1] l[3] l[4] + l[3] l[4] l[2] 3 2 2 3 + l[1] l[3] l[4] l[2] ) l[3] l[1] cos(a[4]) cos(a[3]) 2 3 2 cos(a[2])) cos(a[1]) + ((4 (-3 l[1] l[3] l[2] l[4] 3 2 2 2 2 - l[1] l[3] l[4] l[2] - l[1] l[4] l[3] l[2] 2 2 2 3 2 - l[1] l[3] l[4] l[2] + 2 l[1] l[3] l[2] l[4] 2 2 2 2 2 2 + 2 l[1] l[3] l[4] l[2] + 4 l[1] l[3] l[2] l[4] 2 3 + 2 l[1] l[3] l[4] l[2]) l[3] l[1] sin(a[4]) sin(a[1]) 3 3 2 cos(a[4]) cos(a[3]) + 4 (2 l[1] l[3] l[2] l[4] 2 2 2 2 3 - 2 l[1] l[3] l[2] l[4] - 2 l[1] l[3] l[4] l[2] 3 2 3 2 - 2 l[1] l[3] l[2] l[4] + 2 l[1] l[3] l[4] l[2] 2 2 2 2 2 2 + 2 l[1] l[3] l[4] l[2] - 2 l[1] l[3] l[4] l[2] 2 2 2 + 2 l[1] l[4] l[3] l[2] ) l[3] l[1] sin(a[3]) sin(a[1]) 2 2 3 3 2 cos(a[4]) cos(a[3]) ) cos(a[2]) + 4 (l[1] l[3] l[2] l[4] 2 2 2 3 2 + l[1] l[3] l[4] l[2] - 2 l[1] l[3] l[4] l[2] 2 2 2 2 2 2 - 2 l[1] l[3] l[4] l[2] - 4 l[1] l[4] l[3] l[2] 3 2 2 2 2 - 2 l[1] l[3] l[2] l[4] + l[1] l[3] l[2] l[4] 2 3 + 3 l[1] l[3] l[4] l[2]) l[3] l[1] sin(a[2]) sin(a[1]) 2 3 2 cos(a[4]) cos(a[3]) cos(a[2]) ) cos(a[1]) + 4 ( 2 3 3 3 -l[1] l[3] l[4] l[2] + l[3] l[4] l[2] 3 2 3 3 + l[1] l[3] l[2] l[4] - l[1] l[3] l[2]) l[3] l[1] 2 3 3 cos(a[4]) cos(a[3]) cos(a[2]) > collect(dmueqn0,{c1,c2,c3,c4,s1,s2,s3,s4}); 2 3 2 3 4 3 4 ((2 (-l[1] l[3] l[2] l[4] + l[1] l[3] l[2] - l[1] l[2] l[4] 3 3 3 3 - 2 l[1] l[3] l[2] l[4] + 2 l[1] l[3] l[2] l[4] 3 2 2 2 + l[1] l[3] l[2] l[4] ) l[3] cos(a[3]) + 2 ( 2 2 3 3 2 2 2 l[1] l[3] l[2] l[4] - 2 l[1] l[3] l[2] l[4] 2 2 2 2 3 3 + 2 l[1] l[3] l[2] l[4] - 2 l[1] l[3] l[2] l[4]) l[3] sin(a[4]) sin(a[3]) cos(a[4]) cos(a[3]) + 2 ( 4 3 3 4 2 2 3 -l[1] l[3] l[4] - l[1] l[2] l[4] + l[1] l[3] l[2] l[4] 3 2 2 2 4 + l[1] l[3] l[2] l[4] ) l[3] cos(a[4]) ) cos(a[2]) + 2 ( 2 2 2 2 3 3 2 l[1] l[3] l[2] l[4] - 2 l[1] l[3] l[2] l[4] 3 2 2 2 2 3 + 2 l[1] l[3] l[2] l[4] - 2 l[1] l[3] l[2] l[4] ) l[3] 2 3 sin(a[3]) sin(a[2]) cos(a[4]) cos(a[3]) cos(a[2]) + 2 ( 2 3 2 3 3 -l[1] l[3] l[4] l[2] - 2 l[1] l[3] l[2] l[4] 3 3 3 4 + 2 l[1] l[3] l[2] l[4] + l[3] l[4] l[2] 4 3 2 2 3 2 - l[1] l[3] l[4] + l[1] l[3] l[2] l[4] ) l[3] cos(a[4]) 2 2 2 cos(a[3]) cos(a[2]) ) cos(a[1]) + (2 ( 2 3 2 2 2 2 2 2 l[1] l[3] l[2] l[4] - 2 l[1] l[3] l[2] l[4] 2 3 2 3 3 - 2 l[1] l[3] l[4] l[2] + 2 l[1] l[3] l[2] l[4] ) l[3] 2 4 sin(a[4]) sin(a[1]) cos(a[4]) cos(a[3]) cos(a[2]) + 2 ( 2 3 2 3 3 -2 l[1] l[3] l[2] l[4] + 2 l[1] l[3] l[2] l[4] 2 3 2 2 2 2 2 + 2 l[1] l[3] l[4] l[2] - 2 l[1] l[3] l[2] l[4] ) l[3] 2 2 3 sin(a[2]) sin(a[1]) cos(a[4]) cos(a[3]) cos(a[2]) ) 3 4 2 3 2 cos(a[1]) + 2 (l[1] l[3] l[2] - l[1] l[3] l[2] l[4] 3 4 2 3 2 2 + l[3] l[4] l[2] - l[1] l[3] l[4] l[2] ) l[3] cos(a[4]) 2 4 cos(a[3]) cos(a[2]) > ddmueqn0:=simpform(simpform(subs(I2,subs(dallsubs,d(dmueqn0))))): > ddmueqn1:=simpform(simpform(subs(I2,subs(dallsubs,d(dmueqn1))))): > ddmueqn2:=simpform(simpform(subs(I2,subs(dallsubs,d(dmueqn2))))):yyy; > p32sub:=(-dmueqn1+DDs)/(4*dmueqn2): > ddmueqn0:=simpform(simpform(subs(p[3,2]=p32sub,ddmueqn0))): > ddmueqn1:=simpform(simpform(subs(p[3,2]=p32sub,ddmueqn1))): > ddmueqn2:=simpform(simpform(subs(p[3,2]=p32sub,ddmueqn2))):yyz; yyy > ddmueqn01:=collect(coeff(ddmueqn0,eta[1]),{c1,c2,c3,c4,s1,s2,s3,s4}): > ddmueqn11:=collect(coeff(ddmueqn1,eta[1]),{c1,c2,c3,c4,s1,s2,s3,s4}): > ddmueqn21:=collect(coeff(ddmueqn2,eta[1]),{c1,c2,c3,c4,s1,s2,s3,s4}):zzz; zzz > dpeta1coeff:= -(1/2)*dmueqn2*ddmueqn11+(-dmueqn1/2+DDs/2)*ddmueqn21+(dmueqn2*(2*dmueqn1*ddmueqn11-4*ddmueqn21*dmueqn0-4*dmueqn2*ddmueqn01))/(4*DDs): > dpeta1coeffnDDS:= -(1/2)*dmueqn2*ddmueqn11+(-dmueqn1/2 )*ddmueqn21: > dpeta1coeff:=collect(dpeta1coeff,{c1,c2,c3,c4,s1,s2,s3,s4}): > > dpeta1coeffb:=simplify(EE*(-dmueqn1+DDs)/(2*dmueqn2)+FF):dpeta1coeffbnDDs:=simplify(EE*(-dmueqn1)/(2*dmueqn2)+FF): > %collect(dpeta1coeffb,{c1,c2,c3,c4,s1,s2,s3,s4,DDs}): > firsteqn:=collect((dpeta1coeff-dpeta1coeffb),{c1,c2,c3,c4,s1,s2,s3,s4,DDs}): > feqnDDs:=collect(coeff(firsteqn,DDs),{c1,c2,c3,c4,s1,s2,s3,s4}): Error, unable to compute coeff > feqnmDDs:=collect(dpeta1coeffnDDS-dpeta1coeffbnDDs,{c1,c2,c3,c4,s1,s2,s3,s4}); 2 2 / 2 3 feqnmDDs := -%1 cos(a[3]) l[3] l[1] |2 (-23 cos(a[2]) l[3] \ 3 3 2 2 2 2 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] l[2] sin(a[2]) 2 3 2 2 2 - 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] 3 2 2 l[1] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) sin(a[4]) + 4 cos(a[3]) 3 3 3 2 2 l[3] cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) sin(a[3]) l[2] 2 4 2 3 sin(a[2]) l[1] + 6 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 2 3 2 3 3 cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) + 8 cos(a[3]) l[3] 3 2 3 cos(a[1]) l[1] l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) sin(a[4]) l[2] 2 3 3 4 sin(a[2]) - 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 3 3 sin(a[3]) sin(a[4]) l[2] cos(a[3]) l[3] l[1] - 4 cos(a[3]) 3 2 2 2 2 2 l[3] cos(a[1]) l[1] l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) l[2] 2 3 3 3 2 sin(a[2]) sin(a[1]) + 6 l[3] cos(a[1]) l[1] l[4] 2 2 3 cos(a[4]) cos(a[2]) l[2] sin(a[2]) cos(a[3]) + 8 cos(a[2]) 2 2 2 2 2 l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] sin(a[3]) l[4] 3 3 3 2 sin(a[1]) l[2] sin(a[4]) - cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) 2 2 2 3 2 3 l[1] l[3] l[2] l[4] sin(a[3]) sin(a[4]) - 7 cos(a[2]) 4 3 3 2 2 l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] l[4] 2 3 3 2 sin(a[4]) - 3 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 3 4 3 2 cos(a[3]) l[2] sin(a[2]) l[3] l[1] + 3 cos(a[2]) l[3] 2 3 2 3 3 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] sin(a[1]) l[2] l[1] 3 2 3 4 2 - 2 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) sin(a[2]) 3 3 3 2 3 2 2 l[2] - 4 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[1] l[4] cos(a[4]) 2 3 3 cos(a[2]) l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) + 2 cos(a[2]) cos(a[1]) 2 3 3 cos(a[4]) l[1] l[4] l[2] sin(a[4]) cos(a[3]) l[3] - 9 3 2 3 2 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] 2 2 3 3 3 l[4] sin(a[4]) sin(a[1]) - 8 cos(a[2]) cos(a[3]) l[3] 2 3 2 sin(a[1]) l[1] l[4] cos(a[4]) l[2] cos(a[1]) sin(a[4]) - 2 3 3 4 4 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[3] l[2] 2 3 2 3 sin(a[4]) + 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 3 2 cos(a[4]) l[4] sin(a[1]) l[2] sin(a[2]) sin(a[4]) l[1] - 12 3 2 3 2 2 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) l[3] l[1] sin(a[1]) 2 2 3 3 l[2] sin(a[3]) cos(a[3]) + 10 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 2 2 2 3 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] sin(a[3]) 3 2 2 2 3 - 5 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] 3 3 2 2 3 l[1] sin(a[3]) l[2] + 4 cos(a[2]) l[3] l[4] cos(a[3]) 2 3 2 l[1] l[2] cos(a[4]) sin(a[1]) - 3 3 4 2 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[3]) l[2] sin(a[3]) l[1] 3 2 3 3 4 - 2 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[2] l[4] sin(a[1]) 3 3 2 3 l[3] l[1] + 2 cos(a[2]) cos(a[3]) l[3] sin(a[1]) l[4] 2 3 3 3 3 cos(a[4]) l[2] l[1] - 9 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 3 2 2 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] l[2] sin(a[4]) - 2 3 3 3 4 2 cos(a[2]) sin(a[3]) cos(a[1]) l[2] l[4] cos(a[4]) l[3] l[1] - 3 3 2 2 4 3 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) l[3] l[1] sin(a[3]) 3 3 2 2 3 - 18 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 2 3 4 l[4] sin(a[3]) l[2] sin(a[1]) sin(a[4]) + 8 cos(a[3]) l[3] 3 2 2 cos(a[1]) l[1] l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) sin(a[4]) l[2] 2 3 4 2 2 sin(a[2]) + cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) 4 3 2 3 l[2] sin(a[3]) l[3] + 7 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 3 4 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] sin(a[4]) l[2] l[1] - 2 3 3 2 4 2 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) sin(a[3]) l[4] sin(a[4]) 3 2 2 4 2 l[2] l[3] l[1] - 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 3 cos(a[3]) sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) l[3] l[1] - 14 2 3 2 3 2 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] 2 2 3 sin(a[1]) l[2] sin(a[2]) sin(a[4]) + 2 cos(a[2]) cos(a[1]) 3 3 2 4 cos(a[3]) l[4] sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) l[3] l[1] - 2 3 2 2 4 3 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[4]) l[4] l[2] sin(a[1]) 3 3 2 cos(a[3]) l[3] l[1] - 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 2 2 2 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] sin(a[3]) 3 2 2 sin(a[4]) - 6 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 2 3 2 3 cos(a[4]) sin(a[3]) l[4] sin(a[1]) l[2] l[1] - 5 3 2 2 2 3 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] 2 2 2 3 3 sin(a[3]) l[2] + 4 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[4] 2 3 2 cos(a[4]) cos(a[2]) sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) l[1] + 12 2 3 3 2 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] 2 2 2 2 sin(a[1]) l[2] sin(a[2]) l[1] - 16 cos(a[2]) l[3] 2 2 2 3 3 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] sin(a[3]) l[2] 3 3 2 sin(a[2]) sin(a[1]) l[1] + 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 2 2 2 3 cos(a[4]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] sin(a[4]) cos(a[3]) + 3 2 2 2 3 2 8 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[1] l[4] cos(a[4]) 2 2 3 2 cos(a[2]) sin(a[1]) l[2] sin(a[2]) - 3 cos(a[2]) l[3] 3 3 2 2 2 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] l[4] sin(a[1]) 3 2 3 2 2 sin(a[4]) + 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) l[1] 3 2 3 sin(a[1]) l[2] sin(a[3]) cos(a[3]) l[3] - 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3 4 2 3 2 2 4 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 2 3 2 3 3 l[4] l[2] sin(a[1]) - cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[2] 3 2 2 3 3 l[4] l[3] sin(a[1]) sin(a[4]) l[1] - 8 cos(a[2]) l[3] 2 2 2 2 2 2 sin(a[3]) cos(a[1]) l[2] l[1] l[4] cos(a[4]) sin(a[1]) 3 3 2 2 3 cos(a[3]) + 6 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[4]) l[1] 2 3 3 l[4] l[2] sin(a[1]) cos(a[3]) + cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 2 2 4 cos(a[4]) cos(a[3]) sin(a[3]) l[2] l[3] l[1] - 5 2 3 3 2 2 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] 2 2 2 2 sin(a[1]) l[2] sin(a[2]) + cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 2 2 3 2 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) 2 2 3 3 sin(a[1]) + 18 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 2 3 3 2 3 cos(a[4]) l[4] l[2] sin(a[2]) l[1] - 8 cos(a[3]) l[3] 3 2 3 2 cos(a[1]) l[1] l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) l[2] sin(a[3]) 4 2 3 sin(a[4]) sin(a[2]) + 4 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 2 2 2 2 cos(a[4]) l[1] l[4] l[2] sin(a[1]) + 4 cos(a[2]) l[3] 2 3 2 2 3 2 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] l[2] sin(a[1]) 3 2 3 2 3 2 + 3 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[1] 3 2 3 3 sin(a[1]) l[2] l[3] + 2 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) 2 3 2 3 3 l[3] l[4] sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) l[1] - 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18 3 3 3 3 2 2 2 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[1] l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) 3 2 3 4 l[2] sin(a[2]) - 3 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[2] 3 2 3 3 l[4] sin(a[4]) sin(a[1]) l[3] l[1] - cos(a[2]) cos(a[1]) 2 2 3 2 2 2 cos(a[3]) l[1] sin(a[3]) l[3] l[4] sin(a[4]) l[2] + 16 2 3 2 2 2 2 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] 2 3 sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) + 12 cos(a[2]) 3 3 2 2 2 2 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) l[3] l[1] l[2] sin(a[3]) 3 2 2 sin(a[4]) cos(a[3]) - 8 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 2 2 2 2 3 cos(a[4]) l[3] l[1] sin(a[3]) sin(a[1]) l[2] cos(a[3]) 2 3 3 3 2 - 12 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[1] l[4] cos(a[4]) 2 3 cos(a[2]) sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) sin(a[4]) - 8 cos(a[2]) 3 4 3 3 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) sin(a[4]) l[2] l[3] 3 3 4 l[1] + 2 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[2] 3 3 3 l[4] sin(a[4]) l[3] l[1] - 2 cos(a[2]) cos(a[1]) 2 2 3 2 3 cos(a[3]) l[3] sin(a[3]) l[4] sin(a[4]) l[2] l[1] + 6 3 3 3 3 2 2 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[1] l[4] cos(a[2]) l[2] 3 2 3 4 sin(a[2]) - 8 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 2 3 cos(a[2]) sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) l[1] - 5 cos(a[2]) 2 3 2 2 4 2 l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) sin(a[3]) l[4] l[2] 3 3 2 2 l[1] + 16 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) 2 2 2 2 3 3 l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] sin(a[3]) - cos(a[2]) l[3] 3 2 2 3 2 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] sin(a[3]) l[2] l[1] 2 3 3 3 2 2 - 23 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 3 3 3 3 l[4] sin(a[2]) l[2] + 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 3 2 2 cos(a[4]) l[3] sin(a[3]) sin(a[4]) l[2] cos(a[3]) l[1] - 4 2 4 2 3 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] 2 3 2 l[4] sin(a[1]) sin(a[4]) sin(a[2]) + 3 cos(a[2]) l[3] 3 4 2 2 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] sin(a[1]) l[2] 2 2 3 2 3 sin(a[4]) l[1] + 11 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[1] l[4] 2 3 2 3 3 cos(a[4]) cos(a[2]) sin(a[3]) l[2] + 7 cos(a[2]) l[3] 3 3 2 3 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[2] l[4] sin(a[4]) l[1] - 2 3 3 2 2 4 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) sin(a[3]) l[2] 3 4 sin(a[2]) cos(a[3]) l[3] l[1] + cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 2 2 4 2 cos(a[4]) cos(a[3]) l[2] sin(a[3]) l[3] + 8 cos(a[2]) 3 2 2 2 3 2 2 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] 2 2 2 sin(a[2]) cos(a[3]) - 4 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 2 2 4 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) 2 3 3 2 sin(a[1]) l[1] - 4 cos(a[2]) cos(a[3]) l[3] sin(a[1]) 3 2 2 l[1] l[4] cos(a[4]) l[2] cos(a[1]) sin(a[2]) - 6 2 2 3 2 3 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] 2 2 3 2 2 sin(a[1]) l[2] sin(a[2]) + 8 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) 3 2 3 2 l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) l[1] + 3 3 4 4 2 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] l[2] 3 3 2 3 sin(a[4]) l[3] + 6 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 3 2 3 l[1] l[2] l[4] sin(a[1]) - 2 cos(a[2]) cos(a[1]) 3 2 3 2 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[3] l[4] l[2] sin(a[4]) - 2 3 3 2 3 4 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[4] sin(a[3]) l[2] 2 3 2 3 sin(a[4]) l[3] l[1] + cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 4 cos(a[3]) sin(a[3]) sin(a[1]) l[2] sin(a[4]) l[3] l[1] - 6 3 4 2 2 3 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) l[2] sin(a[2]) 3 2 2 cos(a[3]) l[3] l[1] - 9 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 3 2 2 2 3 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] + 2 2 2 2 3 4 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] 2 3 sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) l[1] + 3 cos(a[2]) 2 3 2 2 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[1] sin(a[3]) 3 3 3 4 sin(a[4]) l[2] sin(a[1]) l[3] - 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4 cos(a[2]) cos(a[1]) 2 2 3 2 3 cos(a[3]) l[1] sin(a[3]) l[4] sin(a[4]) l[2] l[3] + 12 2 2 3 4 2 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) 2 2 2 sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) l[1] - 2 cos(a[2]) l[3] 2 3 2 4 2 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] l[2] sin(a[1]) l[1] 2 3 4 2 - 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) 3 3 sin(a[3]) sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) l[3] l[1] - 3 cos(a[2]) 3 3 2 2 3 cos(a[1]) l[4] cos(a[3]) l[3] sin(a[3]) l[2] l[1] - 2 3 3 3 3 2 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[4]) l[1] l[3] l[4] sin(a[4]) 3 3 4 l[2] cos(a[3]) + 2 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[4]) l[4] 4 3 3 l[2] sin(a[4]) cos(a[3]) l[1] - 2 cos(a[2]) cos(a[3]) 2 4 2 3 2 l[3] sin(a[1]) l[4] cos(a[4]) l[2] - 4 cos(a[2]) 2 3 4 3 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] sin(a[4]) l[2] 3 3 sin(a[2]) sin(a[1]) l[3] l[1] - 6 cos(a[2]) l[3] sin(a[3]) 3 3 2 2 3 2 cos(a[1]) l[2] l[1] l[4] cos(a[4]) + 15 cos(a[2]) l[3] 2 2 2 3 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] sin(a[3]) l[4] 2 2 3 3 sin(a[4]) l[2] sin(a[1]) + 10 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) 3 2 2 l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) 3 2 2 4 sin(a[4]) l[1] + 8 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[4] 2 2 2 cos(a[4]) cos(a[2]) sin(a[1]) l[2] sin(a[2]) l[1] + 3 2 3 3 2 2 2 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] l[2] l[4] 2 3 4 sin(a[1]) sin(a[4]) + 10 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 2 2 2 2 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[3]) l[2] sin(a[1]) 3 2 2 3 2 3 2 + 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[2] l[4] 3 3 2 sin(a[1]) - 3 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 2 3 cos(a[3]) l[3] sin(a[3]) l[2] l[1] - 3 cos(a[2]) 3 4 2 2 2 3 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[2] sin(a[3]) 2 2 3 2 2 2 - 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[1] 3 2 sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) l[3] + 23 cos(a[2]) 2 3 3 2 4 2 l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] l[2] sin(a[2]) 2 3 3 2 3 l[1] + 2 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[4] 2 3 3 3 sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) l[3] + 2 cos(a[2]) cos(a[1]) 2 2 3 2 cos(a[4]) l[1] l[3] l[4] l[2] sin(a[4]) cos(a[3]) - 2 3 2 3 3 2 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] 2 2 3 3 3 2 l[4] sin(a[4]) - 8 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[1] l[4] 2 2 3 cos(a[4]) cos(a[2]) sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) - 4 cos(a[3]) 3 2 2 3 2 l[3] cos(a[1]) l[1] l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) sin(a[1]) 2 2 2 2 2 l[2] sin(a[2]) + cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 2 2 2 3 cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) - 3 3 3 2 2 2 2 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[4]) l[1] l[3] l[4] l[2] 3 3 3 3 sin(a[4]) cos(a[3]) - 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4 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) 2 3 3 l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] sin(a[4]) sin(a[2]) - 8 cos(a[3]) 2 3 2 3 l[3] cos(a[1]) l[1] l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) sin(a[4]) 2 2 3 4 2 l[2] sin(a[2]) - 3 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 2 3 2 2 cos(a[3]) l[3] l[2] sin(a[3]) + 6 cos(a[2]) l[3] 2 3 3 3 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[2] l[4] sin(a[4]) 3 3 2 sin(a[1]) sin(a[2]) l[1] - 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 2 2 3 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] sin(a[4]) 2 4 2 2 sin(a[3]) + 7 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 2 2 2 cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) + 3 2 3 2 3 2 23 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[1] l[4] cos(a[4]) 2 2 2 3 3 cos(a[2]) l[2] sin(a[2]) - 8 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) 2 2 2 2 2 l[1] l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) 3 3 2 3 2 3 - 4 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] 2 2 3 2 sin(a[1]) l[2] l[1] + 8 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 2 2 2 2 3 cos(a[4]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) cos(a[3]) 3 3 3 3 2 + 8 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[1] l[4] cos(a[4]) 2 3 2 cos(a[2]) sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) + 6 cos(a[2]) l[3] 2 2 3 2 2 2 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] 2 2 3 3 sin(a[3]) + 10 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 3 cos(a[2]) sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) sin(a[4]) l[1] + 6 3 2 2 2 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 2 2 3 3 4 sin(a[3]) l[4] sin(a[1]) l[2] + 6 cos(a[2]) l[3] 2 2 3 2 cos(a[1]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) cos(a[3]) + 3 3 3 3 2 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[2] l[4] 2 2 3 3 sin(a[1]) sin(a[4]) l[1] + 18 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 2 2 2 2 2 cos(a[4]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) cos(a[3]) 3 2 3 3 3 2 + 2 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] l[4] 2 3 2 2 sin(a[1]) l[2] sin(a[4]) + 14 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 2 3 3 cos(a[3]) cos(a[4]) sin(a[3]) l[4] sin(a[1]) l[2] 3 3 2 sin(a[4]) l[1] - 6 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 2 3 2 2 cos(a[4]) l[4] sin(a[1]) l[2] sin(a[3]) l[1] + 4 3 2 4 2 3 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) sin(a[1]) l[2] 2 2 3 sin(a[3]) cos(a[3]) l[3] l[1] - 17 cos(a[2]) l[3] 3 2 2 2 2 2 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] 3 3 2 2 2 sin(a[2]) - cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] 2 3 2 2 2 l[4] sin(a[3]) l[2] sin(a[4]) + 6 cos(a[2]) l[3] 3 2 3 3 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[2] l[4] sin(a[2]) 2 3 3 4 2 sin(a[1]) l[1] - 3 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[3]) 3 2 3 3 l[2] sin(a[3]) l[3] l[1] + 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 2 3 2 2 cos(a[4]) l[3] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) cos(a[3]) l[1] + 2 2 2 3 2 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 3 2 3 l[2] l[4] sin(a[4]) sin(a[1]) sin(a[2]) - 3 cos(a[2]) 3 4 2 2 2 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) l[3] sin(a[3]) l[2] l[1] + 6 3 4 2 2 2 2 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[1] l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) 2 3 2 2 l[2] sin(a[2]) - 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 2 2 3 cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[3]) sin(a[2]) l[2] sin(a[1]) - 5 2 3 4 2 3 3 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[2] 3 3 3 sin(a[2]) l[3] l[1] - 8 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 2 3 l[1] sin(a[3]) sin(a[4]) l[2] cos(a[3]) l[3] - 23 3 3 3 2 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] 2 2 3 4 2 l[4] sin(a[4]) sin(a[1]) - 12 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) 2 2 2 2 l[1] l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) - 3 2 3 3 2 3 6 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[4] cos(a[2]) l[2] 2 3 4 2 sin(a[2]) l[1] - 6 l[3] cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 2 3 cos(a[2]) l[2] sin(a[2]) cos(a[3]) l[1] + 6 cos(a[2]) 3 4 2 2 2 cos(a[3]) l[3] sin(a[1]) l[1] l[4] cos(a[4]) l[2] + 3 4 2 3 4 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[2] sin(a[1]) 2 3 3 2 2 - 12 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[1] l[4] cos(a[4]) 2 2 4 cos(a[2]) sin(a[3]) l[2] sin(a[4]) sin(a[2]) + 6 l[3] 3 3 2 2 2 cos(a[1]) l[1] l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) sin(a[2]) 2 2 3 4 cos(a[3]) + 10 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 2 cos(a[2]) sin(a[3]) sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) l[1] + 3 3 3 2 2 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[1] 3 2 3 4 sin(a[3]) l[2] l[3] + 6 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 2 2 2 2 cos(a[4]) l[3] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) cos(a[3]) l[1] + 3 3 2 2 3 5 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] 2 2 sin(a[1]) l[2] sin(a[3]) sin(a[4]) l[1] - 3 cos(a[2]) 3 3 2 3 2 3 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[1] l[2] sin(a[2]) 3 3 2 3 3 l[3] + cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] l[2] 2 2 3 2 3 l[4] sin(a[3]) sin(a[4]) - 8 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) 3 3 2 l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) l[1] + 3 3 3 2 2 2 13 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 3 2 3 2 l[2] l[4] sin(a[3]) - 6 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 2 2 3 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) 2 2 3 sin(a[1]) l[1] + 4 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 2 3 3 3 cos(a[4]) l[4] l[2] sin(a[1]) l[1] - 5 cos(a[2]) 3 2 2 2 3 2 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] - 2 3 4 2 2 2 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] 3 4 sin(a[3]) l[2] sin(a[1]) sin(a[4]) - 10 cos(a[2]) l[3] 3 2 2 2 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] l[4] sin(a[1]) 3 2 2 2 3 sin(a[4]) - 9 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[1] l[4] 2 3 2 3 2 cos(a[4]) cos(a[2]) sin(a[1]) l[2] + 5 cos(a[2]) l[3] 2 2 4 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) sin(a[3]) l[4] sin(a[4]) 2 3 3 2 3 l[2] sin(a[1]) l[1] - 10 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[1] 2 2 3 3 l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) l[2] sin(a[1]) + 9 cos(a[3]) 2 3 2 3 3 l[3] cos(a[1]) l[1] l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) sin(a[4]) 2 3 3 3 3 2 l[2] - cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[1] l[4] cos(a[4]) 3 2 3 4 cos(a[2]) sin(a[4]) l[2] - 6 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 2 2 3 cos(a[4]) sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) cos(a[3]) l[3] l[1] + 3 3 2 3 2 16 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) 2 2 2 4 sin(a[1]) l[2] sin(a[2]) l[1] - 15 cos(a[2]) l[3] 3 2 2 2 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] l[4] sin(a[2]) 2 2 3 2 sin(a[1]) - 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 2 2 3 cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] sin(a[4]) sin(a[2]) + 3 4 2 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) sin(a[3]) 3 3 2 2 3 l[2] l[3] l[1] - 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 3 3 3 2 l[2] l[4] sin(a[1]) l[1] - cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 2 2 4 2 3 cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] - cos(a[2]) 3 2 3 2 2 2 cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] sin(a[3]) l[4] sin(a[4]) 2 3 2 3 2 3 3 l[2] - cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[2] l[4] 2 3 2 sin(a[1]) sin(a[4]) l[3] - 3 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 2 2 4 3 3 cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) + 4 cos(a[2]) 2 3 2 3 3 cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[2] l[4] sin(a[1]) l[3] + 4 3 3 2 3 2 2 2 cos(a[2]) l[3] sin(a[3]) cos(a[1]) l[2] l[1] l[4] 3 2 4 cos(a[4]) sin(a[4]) cos(a[3]) + 3 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 2 3 cos(a[4]) cos(a[3]) sin(a[3]) sin(a[4]) l[2] sin(a[1]) l[3] 3 3 2 l[1] - 2 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 3 2 2 2 3 3 l[3] l[2] l[4] sin(a[4]) + 23 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 3 2 3 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] l[2] sin(a[2]) l[1] - 6 3 2 3 2 2 3 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[2]) l[2] 2 3 3 2 3 sin(a[2]) l[1] - 16 cos(a[3]) l[3] cos(a[1]) l[1] l[4] 2 2 2 cos(a[4]) cos(a[2]) sin(a[3]) sin(a[2]) l[2] - 6 cos(a[2]) 2 3 2 2 3 2 l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] l[4] 2 3 3 4 sin(a[2]) sin(a[1]) - 6 cos(a[3]) cos(a[1]) l[4] 2 3 2 2 cos(a[2]) l[2] sin(a[2]) l[3] l[1] - 15 cos(a[2]) l[3] 2 2 2 2 3 2 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[3]) l[2] 2 sin(a[2]) sin(a[1]))/l[4] - 16 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) 2 2 3 3 2 l[3] l[1] %1 (6 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[3]) l[3] 3 2 2 2 4 l[1] l[2] sin(a[4]) + 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 3 2 3 2 cos(a[3]) l[1] l[2] sin(a[4]) l[3] - 6 cos(a[2]) 2 3 4 4 cos(a[1]) cos(a[3]) l[3] l[1] l[2] sin(a[4]) l[4] - 2 2 5 3 4 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[3]) l[1] l[2] sin(a[4]) 2 2 2 3 3 3 2 + 6 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[3]) l[3] l[1] l[2] 2 2 3 3 2 sin(a[4]) - 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[3]) l[3] 2 3 l[1] l[2] sin(a[4]) - 2 3 2 4 5 2 cos(a[2]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[3] l[2] sin(a[4]) 2 2 4 3 4 + 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[3]) l[3] l[1] l[2] 2 2 3 2 sin(a[4]) - 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] 3 3 2 2 4 l[2] l[4] sin(a[1]) cos(a[4]) + cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 3 2 3 2 4 cos(a[4]) l[1] sin(a[3]) l[2] l[3] - 4 cos(a[2]) l[3] 2 2 3 2 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] 2 3 2 sin(a[4]) sin(a[3]) - 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 3 3 cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[1]) l[2] sin(a[4]) sin(a[3]) + 3 2 3 3 2 3 2 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] l[4] 2 2 3 2 sin(a[1]) sin(a[4]) - 6 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) 4 4 2 2 2 3 l[1] l[3] l[4] sin(a[4]) - 6 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 2 3 2 2 2 cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) sin(a[4]) l[2] 2 4 2 3 2 4 + 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 2 3 2 sin(a[4]) l[2] l[4] - 4 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) 3 3 3 3 l[3] l[4] l[2] sin(a[4]) l[1] + 6 cos(a[2]) l[3] 2 3 3 3 3 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] l[2] sin(a[2]) 2 3 3 3 + 8 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] 3 2 2 2 l[1] sin(a[3]) sin(a[2]) l[2] + 3 cos(a[2]) cos(a[1]) 4 2 2 3 l[4] cos(a[3]) l[1] l[2] sin(a[3]) l[3] cos(a[4]) + 4 2 2 3 3 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] 4 2 2 5 2 l[2] sin(a[2]) + 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 3 cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) sin(a[4]) l[2] + 4 cos(a[2]) 3 2 2 4 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[3] l[4] sin(a[1]) 3 4 l[2] sin(a[2]) sin(a[4]) + 20 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 3 2 3 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] sin(a[4]) 2 4 3 sin(a[2]) + 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) 4 2 2 l[1] l[2] sin(a[1]) l[4] - 3 cos(a[2]) cos(a[1]) 2 4 4 2 cos(a[3]) l[1] l[3] sin(a[3]) sin(a[4]) l[2] cos(a[4]) 2 2 3 2 3 3 l[4] + 3 cos(a[2]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] 2 2 5 2 l[2] sin(a[3]) - cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 3 cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) sin(a[4]) l[2] sin(a[1]) - 6 2 2 2 3 3 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[3]) l[3] l[1] l[2] 2 2 3 3 sin(a[4]) + 4 cos(a[2]) l[3] l[4] cos(a[3]) l[1] 2 4 2 3 2 cos(a[1]) l[2] sin(a[4]) - 4 cos(a[2]) l[3] l[4] 3 2 2 3 2 cos(a[3]) l[1] cos(a[1]) l[2] sin(a[4]) + 3 cos(a[2]) 4 2 2 2 2 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) 2 2 2 sin(a[4]) l[2] sin(a[1]) - 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 2 2 3 4 cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] sin(a[1]) 2 2 2 2 2 sin(a[4]) - 11 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] 2 4 2 l[2] l[4] sin(a[3]) sin(a[4]) cos(a[4]) - 7 cos(a[2]) 3 2 3 2 3 l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[3]) 2 2 l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) - 10 cos(a[2]) cos(a[1]) 3 4 3 2 2 cos(a[3]) l[1] l[3] l[4] sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) 2 3 3 cos(a[4]) + 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 3 3 3 2 4 cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[1]) l[2] - 5 cos(a[2]) l[3] 2 2 3 4 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] sin(a[3]) l[2] l[4] - 2 2 5 3 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) l[3] l[1] sin(a[3]) 3 2 2 4 2 3 l[2] + 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) 4 2 2 l[3] l[1] l[2] sin(a[4]) + 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 2 2 3 4 cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) 2 3 2 3 sin(a[4]) + 13 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] 3 2 2 2 l[2] l[4] sin(a[4]) sin(a[1]) cos(a[4]) - 2 cos(a[2]) 4 3 3 2 l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) 3 3 3 3 l[2] - 4 cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] 2 3 2 4 2 sin(a[1]) l[2] sin(a[2]) + 13 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 3 2 3 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] l[2] sin(a[4]) - 2 3 2 3 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] 3 2 3 sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) - 4 cos(a[2]) l[3] 2 3 2 3 2 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] sin(a[3]) 3 2 3 3 + 9 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 2 2 2 l[4] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) + 12 cos(a[2]) 2 2 3 2 3 4 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) 2 2 4 3 2 l[2] - 21 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) 2 2 2 2 3 3 l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] - cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) 2 3 3 2 cos(a[4]) l[1] l[2] l[4] sin(a[1]) sin(a[4]) - 2 3 2 5 4 2 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[3] l[4] l[2] sin(a[4]) 2 3 2 3 3 + 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] 2 3 2 sin(a[1]) l[2] sin(a[3]) - 9 cos(a[2]) cos(a[1]) 3 2 4 3 2 cos(a[3]) l[1] l[3] l[2] l[4] sin(a[4]) sin(a[1]) 2 2 3 4 cos(a[4]) - 8 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[3]) l[3] 3 2 2 l[1] sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) cos(a[4]) + 7 cos(a[2]) 4 2 2 3 3 2 l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] l[4] 2 2 2 2 sin(a[3]) + 12 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] 4 2 3 2 sin(a[3]) l[4] sin(a[4]) l[2] cos(a[4]) + 7 cos(a[2]) 2 2 2 4 2 2 cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] sin(a[3]) l[3] l[4] sin(a[4]) 2 4 2 l[2] cos(a[4]) - 4 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 3 3 2 cos(a[4]) l[1] l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) sin(a[3]) l[4] - 3 2 4 3 2 cos(a[2]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) 4 2 2 2 l[2] - 2 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 5 3 2 2 l[3] l[4] l[2] sin(a[4]) + 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 3 4 3 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] l[2] sin(a[1]) - 3 2 3 2 4 4 cos(a[2]) cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] l[2] sin(a[3]) 2 2 2 4 l[4] + 6 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] l[4] 4 2 2 sin(a[3]) l[2] sin(a[4]) cos(a[4]) + 3 cos(a[2]) 2 3 2 2 3 2 cos(a[1]) l[4] cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] 2 3 2 cos(a[4]) + 14 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 2 3 2 2 cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[3]) l[2] sin(a[1]) sin(a[4]) + 2 4 2 3 4 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] sin(a[3]) l[2] 2 2 3 2 sin(a[1]) l[4] + 22 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] 2 3 2 3 l[3] l[4] sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) cos(a[4]) - 2 2 2 2 3 3 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[3] l[4] 3 2 3 sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) sin(a[4]) + 2 cos(a[2]) cos(a[3]) 2 2 4 3 2 cos(a[4]) l[3] l[4] l[2] sin(a[4]) l[1] - 2 cos(a[2]) 4 3 2 3 2 2 l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] 2 4 2 sin(a[4]) - 10 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 2 2 2 cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) + 2 4 2 3 2 2 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 2 2 2 3 l[2] l[4] sin(a[4]) - 32 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) 2 2 3 3 2 l[1] l[3] l[2] l[4] sin(a[4]) sin(a[1]) cos(a[4]) - 6 2 3 2 4 2 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] l[4] sin(a[4]) 3 2 3 l[2] sin(a[2]) cos(a[4]) + 21 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 3 3 3 2 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] l[2] sin(a[1]) - 4 2 2 3 3 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] 2 2 4 sin(a[3]) l[2] sin(a[1]) - 6 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 2 2 4 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] sin(a[3]) l[2] sin(a[1]) 4 3 sin(a[4]) l[4] + 4 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 2 3 2 cos(a[4]) l[1] l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) sin(a[4]) l[4] + 9 2 3 4 4 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] l[2] l[4] 2 2 2 sin(a[4]) sin(a[1]) cos(a[4]) - 4 cos(a[2]) cos(a[1]) 3 2 3 2 2 2 l[4] cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) sin(a[4]) l[2] 2 3 3 cos(a[4]) - 6 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 3 3 3 5 cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[2]) l[2] + 5 cos(a[2]) l[3] 2 3 3 3 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] sin(a[2]) l[4] + 3 2 4 4 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[3] l[2] 4 2 3 l[4] sin(a[4]) sin(a[1]) sin(a[2]) - 2 cos(a[2]) l[3] 3 3 2 2 cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[2] l[4] sin(a[1]) cos(a[4]) - 2 4 3 2 3 2 4 cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] 2 2 4 sin(a[4]) sin(a[1]) l[4] + 5 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 3 3 4 cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[1]) l[2] + 25 2 3 3 3 2 2 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] l[2] l[4] 2 3 sin(a[1]) sin(a[4]) cos(a[4]) - 4 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 3 2 3 3 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] sin(a[2]) 2 2 3 2 4 sin(a[4]) - 3 cos(a[2]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] 3 3 3 l[1] sin(a[3]) l[2] + 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) 3 2 3 2 2 cos(a[4]) l[1] l[2] l[4] sin(a[2]) sin(a[1]) - 4 2 4 3 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] 3 2 2 sin(a[1]) l[2] sin(a[3]) + 10 cos(a[2]) cos(a[1]) 3 4 3 2 2 cos(a[3]) l[1] l[3] l[2] l[4] sin(a[1]) sin(a[4]) 3 3 3 3 cos(a[4]) + 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 2 2 2 2 2 l[4] sin(a[1]) l[2] sin(a[2]) - cos(a[2]) l[3] 3 2 2 3 3 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] l[4] sin(a[1]) sin(a[4]) 2 4 3 - 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] 2 3 2 2 l[1] sin(a[1]) l[2] sin(a[3]) + 8 cos(a[2]) cos(a[1]) 4 3 2 2 2 l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[1]) l[2] 2 3 2 sin(a[3]) - 8 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) 2 2 4 2 l[1] l[3] l[4] sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) - 2 2 2 3 4 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) l[3] l[1] sin(a[3]) 2 3 2 2 2 3 3 + 2 cos(a[2]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[3] l[2] l[4] 2 2 2 2 sin(a[4]) + 6 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 3 4 2 cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) sin(a[4]) l[2] - 2 2 4 3 2 4 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] sin(a[1]) 2 2 4 2 sin(a[4]) l[4] - 15 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 3 2 2 2 cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[4]) l[2] - 6 cos(a[2]) 2 3 3 2 2 2 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) 3 2 5 3 l[2] sin(a[2]) - 8 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 3 3 4 cos(a[4]) l[1] l[2] sin(a[1]) l[4] - cos(a[2]) l[3] 3 3 4 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) l[4] - 4 2 3 3 2 11 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 2 2 2 4 l[4] l[2] sin(a[2]) - 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 2 2 2 3 cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) 2 4 3 sin(a[4]) - 7 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 3 2 2 2 2 4 cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[1]) l[2] - 4 cos(a[2]) l[3] 2 3 2 2 2 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[3]) l[2] sin(a[1]) 3 3 2 2 - 4 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 3 2 2 l[2] l[4] sin(a[4]) sin(a[1]) sin(a[2]) - 3 cos(a[2]) 2 2 2 3 4 cos(a[1]) l[4] cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] 2 4 2 2 cos(a[4]) - cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) 2 3 2 l[3] l[1] sin(a[3]) sin(a[4]) l[2] sin(a[1]) + 4 cos(a[2]) 2 4 2 2 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) 4 2 3 3 l[2] sin(a[4]) + 8 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 3 2 2 cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[1]) l[2] sin(a[3]) - 5 2 3 2 3 2 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] 3 2 3 2 l[4] sin(a[4]) + 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 2 2 2 3 cos(a[4]) l[1] sin(a[3]) l[4] sin(a[1]) l[2] sin(a[4]) - 2 3 3 3 3 10 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] l[4] 2 3 sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) cos(a[4]) + 6 cos(a[2]) l[3] 2 3 2 3 2 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] l[4] sin(a[2]) 2 3 sin(a[1]) sin(a[3]) + 19 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 3 3 2 2 3 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] + 5 3 3 4 2 l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] sin(a[1]) l[4] 2 2 3 2 3 3 + 11 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] 3 2 2 2 3 l[1] l[2] sin(a[4]) - cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] 5 2 2 sin(a[3]) l[3] sin(a[4]) l[2] cos(a[4]) l[4] + 4 cos(a[2]) 4 2 3 2 3 2 l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] sin(a[4]) 4 3 3 3 2 l[4] - 2 l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] 2 2 2 sin(a[1]) l[2] - 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 4 3 cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) sin(a[4]) + 6 2 3 2 3 3 2 cos(a[2]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[3] l[2] sin(a[4]) 2 2 2 2 3 4 l[4] - cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] 2 2 4 sin(a[3]) l[2] sin(a[4]) cos(a[4]) l[4] + 3 cos(a[2]) l[3] 2 3 3 4 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] sin(a[2]) l[4] - 2 3 3 2 3 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] 2 3 3 2 sin(a[1]) l[2] sin(a[2]) - 11 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 3 3 3 2 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] l[2] sin(a[2]) + 6 2 3 2 2 4 3 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[3] l[4] l[2] sin(a[4]) 2 4 3 l[1] + 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] 2 4 2 l[1] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) - 3 cos(a[2]) cos(a[1]) 4 3 3 4 l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] l[2] sin(a[2]) + 7 2 3 3 2 2 3 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] l[4] 2 2 3 sin(a[4]) sin(a[1]) - 8 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) 2 4 2 2 2 l[1] l[3] l[4] sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) cos(a[4]) + 2 2 3 3 2 3 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) l[3] l[1] sin(a[3]) 2 2 2 3 2 4 l[2] - cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] 2 3 2 2 3 sin(a[1]) l[2] sin(a[4]) - 14 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 2 2 3 2 2 cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) sin(a[4]) l[2] 2 3 2 3 2 - 4 cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] sin(a[3]) 2 2 3 2 2 l[4] sin(a[1]) l[2] + 4 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) 2 3 2 3 2 2 cos(a[4]) l[1] l[3] l[4] l[2] sin(a[4]) + 4 cos(a[2]) 2 2 2 4 3 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[3] l[4] l[2] 2 2 2 3 3 sin(a[4]) + 20 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] 2 2 2 2 sin(a[3]) l[4] sin(a[4]) l[2] cos(a[4]) + 3 cos(a[2]) 3 5 3 cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] l[4] sin(a[1]) l[2] 2 2 3 2 sin(a[4]) cos(a[4]) + 4 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) 2 4 4 2 2 l[3] l[4] l[2] sin(a[4]) - cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 2 2 4 3 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] sin(a[3]) l[4] sin(a[4]) l[2] 2 2 2 3 sin(a[1]) - 20 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 2 2 3 3 2 3 cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[4]) l[2] + 5 cos(a[2]) l[3] 2 2 2 3 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] sin(a[3]) l[4] 2 2 4 2 sin(a[4]) l[2] sin(a[1]) - 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 2 3 3 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] sin(a[3]) l[2] l[4] - 3 5 3 3 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[2] sin(a[2]) 2 5 2 sin(a[1]) l[4] - 4 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 3 3 cos(a[4]) l[1] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) l[4] - 9 4 3 2 2 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] 2 2 sin(a[3]) sin(a[2]) l[2] sin(a[1]) - 4 cos(a[2]) cos(a[1]) 3 3 3 3 l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[1]) l[2] 2 2 3 2 3 sin(a[3]) - cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 2 2 3 2 cos(a[4]) l[1] l[2] l[4] sin(a[4]) + 6 cos(a[2]) 5 3 2 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) 3 3 l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) + 4 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) 2 3 3 3 cos(a[4]) l[1] l[3] l[4] sin(a[1]) l[2] sin(a[4]) 2 2 2 2 3 sin(a[2]) + 7 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] 2 3 2 2 l[4] sin(a[3]) l[2] sin(a[4]) cos(a[4]) + 2 cos(a[2]) 2 2 3 2 3 2 3 l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] 4 2 3 sin(a[3]) + 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 3 3 2 cos(a[4]) l[1] l[2] sin(a[2]) l[4] + 2 cos(a[2]) 2 4 3 2 2 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) 3 2 2 3 l[2] sin(a[2]) + 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 3 3 4 2 cos(a[3]) l[3] l[1] l[2] sin(a[1]) - 23 cos(a[2]) 2 2 2 2 3 3 cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] l[4] sin(a[3]) l[2] 2 2 2 sin(a[4]) cos(a[4]) + 2 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) 2 2 4 2 2 cos(a[4]) l[1] l[3] l[4] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) 2 3 3 2 2 sin(a[4]) + 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 3 2 2 2 3 l[4] sin(a[1]) l[2] sin(a[4]) - 12 cos(a[2]) l[3] 2 3 2 2 3 2 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] l[2] sin(a[4]) 2 3 2 5 3 - 2 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[3] l[4] l[2] 2 2 2 3 2 sin(a[4]) - cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) 4 3 2 2 4 l[1] l[4] sin(a[4]) l[2] + 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 2 3 2 3 2 cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[4]) l[2] + cos(a[2]) 2 3 3 3 3 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] - 2 2 3 3 2 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] 2 2 2 4 3 l[2] sin(a[1]) + cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 2 2 2 4 2 l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] + 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) 3 3 2 2 cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] sin(a[3]) - 4 2 3 2 2 3 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] 3 4 2 sin(a[3]) l[2] + 6 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 3 2 2 2 cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) + 2 3 3 3 3 10 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] l[4] 2 2 2 sin(a[1]) l[2] sin(a[4]) cos(a[4]) - 6 cos(a[2]) cos(a[1]) 2 2 3 4 2 cos(a[3]) l[1] l[3] l[4] sin(a[3]) l[2] sin(a[4]) 2 3 4 4 cos(a[4]) + 2 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] 2 sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) cos(a[4]) l[4] - 6 cos(a[2]) 2 3 3 2 3 2 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) 2 2 2 3 l[2] sin(a[2]) + 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 4 3 2 cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) + 11 2 2 3 3 2 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] 3 2 5 2 3 l[2] sin(a[2]) + 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 2 3 2 cos(a[4]) l[1] l[2] sin(a[4]) l[4] + 5 cos(a[2]) cos(a[1]) 3 2 2 2 4 2 cos(a[3]) l[1] l[2] l[4] l[3] sin(a[1]) sin(a[4]) 2 5 2 3 3 cos(a[4]) + 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 2 4 sin(a[3]) l[2] sin(a[1]) l[4] + cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 2 3 3 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[3]) sin(a[2]) l[2] 2 3 4 sin(a[1]) - 6 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] l[4] 2 4 sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) cos(a[4]) + 16 cos(a[2]) 2 3 3 2 3 2 2 cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] l[4] sin(a[4]) l[2] 2 2 2 sin(a[2]) cos(a[4]) + 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 3 3 2 cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] sin(a[4]) sin(a[2]) + 4 3 2 4 4 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 2 sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) l[4] - 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32 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 2 2 3 2 cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) + 2 2 2 2 3 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] 3 2 2 2 l[1] sin(a[3]) l[2] sin(a[4]) + 7 cos(a[2]) cos(a[1]) 3 3 3 2 3 2 l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] l[2] sin(a[2]) - 4 2 3 2 3 3 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[3]) 2 2 2 3 2 3 l[2] sin(a[1]) + 6 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 3 3 2 l[3] l[4] sin(a[4]) l[2] - 3 cos(a[2]) cos(a[1]) 3 3 3 3 2 cos(a[3]) l[1] l[2] l[4] l[3] sin(a[1]) sin(a[4]) 2 3 2 2 4 cos(a[4]) + 4 cos(a[2]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[3] l[4] 4 2 2 3 l[2] sin(a[4]) + 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 4 3 2 3 l[1] l[2] l[4] sin(a[1]) cos(a[4]) + 3 cos(a[1]) l[4] 3 2 3 3 cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] - 7 2 3 3 3 2 3 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] 2 2 3 3 sin(a[1]) l[2] - 6 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 3 2 2 2 cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) - 18 2 3 3 3 2 2 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] l[4] sin(a[4]) 2 2 5 l[2] sin(a[2]) cos(a[4]) + 3 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 3 3 3 cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[1]) l[2] - 13 2 2 2 2 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 3 3 4 sin(a[3]) l[4] sin(a[4]) l[2] sin(a[1]) - cos(a[2]) l[3] 2 3 3 3 2 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[2]) l[2] 2 3 3 3 2 + 8 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 3 2 2 4 l[4] sin(a[1]) l[2] - 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) 2 2 3 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] sin(a[3]) l[2] sin(a[4]) 2 4 2 sin(a[1]) l[4] - 14 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 2 3 cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) sin(a[4]) + 6 4 3 2 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] 4 2 2 sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) - cos(a[2]) cos(a[1]) 2 3 3 4 l[4] cos(a[4]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] - 8 cos(a[2]) 2 3 2 3 2 2 3 cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] l[4] sin(a[4]) l[2] 2 2 sin(a[2]) cos(a[4]) - 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 3 2 3 3 2 cos(a[4]) l[1] l[4] l[2] sin(a[1]) + 5 cos(a[2]) 2 2 3 3 3 cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] l[2] l[4] sin(a[3]) 2 2 3 2 sin(a[4]) cos(a[4]) - 6 cos(a[2]) cos(a[3]) cos(a[4]) 3 4 2 2 4 l[1] l[3] l[2] l[4] sin(a[4]) + 3 cos(a[1]) l[4] 3 2 2 3 cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[2] sin(a[3]) l[1] - 3 2 5 2 2 3 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 2 2 3 sin(a[3]) l[2] l[4] - 25 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 3 2 2 3 2 cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] + 2 2 3 2 2 4 3 cos(a[2]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[3] l[2] l[4] 3 2 3 sin(a[4]) - 7 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 3 2 2 3 2 4 cos(a[4]) l[1] l[4] l[2] sin(a[2]) + 2 cos(a[2]) l[3] 2 3 3 2 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] sin(a[3]) sin(a[1]) l[2] l[4] 2 2 2 3 2 - 27 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] sin(a[3]) 3 2 2 l[4] sin(a[4]) l[2] cos(a[4]) - 2 5 3 2 4 3 cos(a[2]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[2] sin(a[3]) 3 2 3 2 - 8 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[3] 3 2 2 l[4] sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) - 18 cos(a[2]) 2 3 3 2 3 l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) 3 2 3 2 2 3 3 l[2] - 2 cos(a[2]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[3] l[2] 2 3 3 3 l[4] sin(a[4]) + 3 cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) 2 3 2 2 2 l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] sin(a[2]) + 10 cos(a[2]) 2 3 3 2 3 3 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] l[2] 2 2 3 sin(a[3]) - 9 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) 3 3 4 2 4 cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] + 3 cos(a[1]) l[4] 3 2 2 2 2 cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] + 12 2 3 2 4 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] 3 sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) - 2 5 3 2 4 3 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[2] sin(a[3]) 2 2 2 4 3 + 15 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] sin(a[3]) 2 2 2 3 l[4] sin(a[4]) l[2] cos(a[4]) + 3 cos(a[2]) l[4] 3 2 3 2 2 cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] + 2 2 2 2 2 2 4 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[3] l[4] 2 2 2 l[2] sin(a[4]) - 4 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) 2 2 3 3 2 2 cos(a[4]) l[1] l[3] l[4] l[2] sin(a[4]) - 4 cos(a[2]) 3 3 4 2 2 cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] l[2] sin(a[4]) sin(a[1]) 2 3 2 3 cos(a[4]) l[4] - 6 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 4 2 4 3 l[3] l[4] l[2] sin(a[4]) + 7 cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) 3 2 2 2 2 cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] sin(a[2]) - 3 2 5 3 2 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) 3 2 2 2 2 4 3 l[2] + 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[3]) l[3] l[1] 2 2 sin(a[3]) sin(a[4]) l[2] cos(a[4]) + 3 cos(a[2]) cos(a[1]) 4 3 3 2 3 l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[1]) l[2] - 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3 2 2 2 4 4 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[3] l[1] l[2] sin(a[3]) 2 3 2 cos(a[4]) l[4] + 3 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] 3 4 2 2 l[2] l[4] sin(a[1]) sin(a[4]) cos(a[4]) + 2 cos(a[1]) 3 2 2 2 4 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[3] l[4] l[2] sin(a[4]) + 2 2 3 3 4 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] 3 2 2 4 2 l[2] sin(a[2]) + 8 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 2 3 cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) sin(a[4]) l[2] - 3 cos(a[2]) 2 4 3 3 2 3 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] l[2] 2 3 3 3 2 sin(a[2]) + 2 cos(a[1]) l[4] cos(a[3]) l[3] l[1] 2 2 2 3 cos(a[4]) l[2] sin(a[4]) + 2 cos(a[2]) cos(a[3]) 2 3 4 2 cos(a[4]) l[1] l[3] l[2] sin(a[4]) l[4] + 6 cos(a[2]) 4 3 2 2 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) 3 2 2 l[2] sin(a[2]) sin(a[1]) - 4 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 3 3 3 2 2 cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) sin(a[1]) l[2] 2 2 2 2 3 3 2 + 3 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[3]) l[3] l[1] l[2] 2 2 5 sin(a[3]) cos(a[4]) + 11 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 3 2 3 cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) l[2] - 4 2 2 3 3 4 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] 3 2 4 3 sin(a[1]) l[2] + 11 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 3 2 2 2 2 cos(a[3]) l[3] l[1] l[2] sin(a[2]) - 4 cos(a[2]) 2 2 2 3 3 cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[4] l[2] sin(a[4]) 2 2 3 2 2 3 2 l[3] + 6 cos(a[2]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] l[3] l[2] 3 3 3 l[4] sin(a[4]) + 3 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) 2 3 3 cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) sin(a[2]) l[2] sin(a[1]) + 3 2 3 3 2 3 2 cos(a[1]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[3]) 2 2 2 3 2 2 2 l[2] + 3 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] cos(a[3]) l[3] l[1] 3 2 3 sin(a[3]) l[2] cos(a[4]) - 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) 3 4 2 3 cos(a[4]) l[1] l[4] sin(a[1]) l[2] sin(a[2]) - 14 2 3 2 2 3 2 cos(a[2]) l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[1] 3 2 2 2 2 sin(a[3]) l[4] l[2] + 9 cos(a[2]) cos(a[1]) l[4] 2 3 3 4 cos(a[4]) cos(a[3]) l[3] l[1] sin(a[4]) l[2] - 6 2 2 2 3 3 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] sin(a[3]) l[4] 2 3 3 sin(a[4]) l[2] cos(a[4]) + 4 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) 2 5 3 cos(a[4]) l[1] l[3] l[4] sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) 2 3 2 2 sin(a[1]) + 16 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[3]) l[1] l[3] 4 2 2 2 l[4] sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) cos(a[4]) - 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%9 - 2 l[1] l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) 2 2 2 l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) + %8 + 3 2 2 2 2 2 2 l[1] l[3] cos(a[4]) cos(a[1]) l[4] cos(a[2]) cos(a[3]) 2 2 3 2 l[2] + 2 l[1] l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) 2 2 cos(a[1]) sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) + 3 l[1] l[3] cos(a[3]) 3 2 2 l[2] l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) sin(a[4]) sin(a[1]) 2 2 2 cos(a[4]) - %7 + 3 l[1] l[3] cos(a[4]) cos(a[1]) l[4] 2 2 3 2 cos(a[2]) cos(a[3]) l[2] - 2 l[1] l[3] cos(a[3]) 2 2 3 cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) sin(a[4]) l[2] 2 sin(a[2]) + %6 - %5 + %4 + %3 - 2 l[1] l[3] cos(a[4]) 3 2 2 cos(a[1]) l[4] cos(a[2]) sin(a[1]) cos(a[3]) l[2] 2 2 3 sin(a[3]) + 3 l[1] l[3] cos(a[4]) cos(a[1]) l[4] 2 2 2 2 3 cos(a[2]) cos(a[3]) l[2] + 2 l[1] l[3] cos(a[3]) l[2] 2 2 l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) sin(a[2]) cos(a[4]) sin(a[1]) + %2 2 2 2 + 2 l[1] l[3] cos(a[4]) cos(a[1]) l[4] cos(a[2]) 3 2 sin(a[3]) cos(a[3]) l[2] sin(a[4]) + 2 l[1] l[3] cos(a[3]) 2 3 2 cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) sin(a[1]) l[2] cos(a[1]) \ sin(a[2])) cos(a[2]) cos(a[3]) l[3] l[1] + DDs))| - 2 (-%29 / 2 2 + %28 - %27 - 2 l[1] l[3] cos(a[1]) cos(a[2]) sin(a[3]) 3 2 cos(a[4]) l[4] cos(a[3]) sin(a[4]) l[2] + %26 - %25 + %24 - %23 + %22 + %21 - %20 - %19 + 2 l[1] l[3] cos(a[1]) 2 2 2 sin(a[3]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) sin(a[1]) 3 2 3 l[2] - %18 - 3 l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) 2 2 2 cos(a[1]) sin(a[3]) l[2] cos(a[3]) sin(a[2]) - 4 l[1] l[3] 2 2 2 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) sin(a[1]) l[2] 3 2 cos(a[1]) sin(a[2]) + 2 l[1] l[3] l[4] cos(a[1]) cos(a[4]) 2 2 2 cos(a[3]) cos(a[2]) sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) + 2 l[1] l[3] 2 2 2 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) sin(a[1]) l[2] 2 2 cos(a[1]) sin(a[3]) - %17 - 3 l[1] cos(a[4]) cos(a[1]) 2 2 2 2 2 2 l[4] cos(a[2]) cos(a[3]) l[3] l[2] + 2 l[1] l[3] 2 2 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) sin(a[4]) 2 2 2 l[2] sin(a[2]) - 2 l[1] l[3] cos(a[1]) sin(a[3]) cos(a[3]) 2 2 2 3 2 cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) sin(a[4]) l[2] + 2 l[1] l[3] 2 2 cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) sin(a[3]) l[2] cos(a[3]) 3 2 2 sin(a[2]) - 2 l[1] l[3] cos(a[4]) cos(a[1]) l[4] 2 3 2 cos(a[2]) sin(a[3]) cos(a[3]) l[2] sin(a[1]) + 3 l[1] l[3] 2 2 cos(a[1]) sin(a[3]) cos(a[4]) cos(a[2]) l[4] sin(a[4]) 2 3 2 cos(a[3]) l[2] + 2 l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) 2 3 2 cos(a[1]) sin(a[3]) l[2] cos(a[3]) sin(a[2]) - 2 l[1] l[3] 2 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) sin(a[4]) l[2] 3 2 2 2 sin(a[2]) + 3 l[1] l[3] cos(a[4]) cos(a[1]) l[4] 2 2 3 2 2 cos(a[2]) cos(a[3]) l[2] + 2 l[1] l[3] cos(a[3]) l[2] 2 cos(a[1]) l[4] cos(a[2]) sin(a[1]) cos(a[4]) sin(a[4]) + %16 2 2 2 2 + %15 + %14 + 2 l[1] l[3] cos(a[2]) l[4] sin(a[1]) 2 cos(a[4]) cos(a[3]) l[2] cos(a[1]) sin(a[4]) + %13 + %12 + 4 2 2 2 2 2 l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) sin(a[3]) 2 2 2 cos(a[3]) sin(a[2]) l[2] + 2 l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] 2 2 cos(a[2]) cos(a[1]) sin(a[3]) l[2] sin(a[2]) cos(a[3]) + 3 2 2 2 2 2 2 2 l[1] l[3] cos(a[3]) l[2] cos(a[4]) cos(a[2]) cos(a[1]) 2 2 2 l[4] - %11 - 2 l[1] l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] 2 2 2 cos(a[2]) cos(a[1]) sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) - 2 l[1] 2 2 2 2 l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) sin(a[1]) l[2] 2 2 cos(a[1]) sin(a[3]) + %10 - 2 l[1] cos(a[4]) cos(a[1]) l[4] 2 3 2 cos(a[2]) sin(a[3]) l[3] cos(a[3]) l[2] sin(a[1]) + 3 l[1] 2 2 2 2 2 2 l[3] cos(a[4]) cos(a[1]) l[4] cos(a[2]) cos(a[3]) l[2] 2 2 2 2 2 + 4 l[1] l[3] cos(a[3]) l[2] l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) 2 2 2 sin(a[4]) sin(a[1]) cos(a[4]) - 2 l[1] l[3] l[4] 2 2 cos(a[1]) cos(a[4]) cos(a[3]) cos(a[2]) sin(a[4]) l[2] 2 2 2 sin(a[2]) + 2 l[1] cos(a[3]) l[2] cos(a[1]) l[4] cos(a[2]) 3 2 2 l[3] sin(a[1]) cos(a[4]) sin(a[4]) - 2 l[1] l[3] cos(a[1]) 2 2 sin(a[3]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) sin(a[1]) 2 2 2 l[2] - 4 l[1] l[3] cos(a[1]) sin(a[3]) cos(a[3]) cos(a[4]) 2 2 2 2 l[4] cos(a[2]) sin(a[4]) l[2] + 2 l[1] l[3] cos(a[3]) 2 2 2 2 cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) sin(a[1]) l[2] cos(a[1]) 2 2 2 2 sin(a[3]) + 3 l[1] cos(a[4]) cos(a[1]) l[4] cos(a[2]) 2 3 2 3 2 cos(a[3]) l[3] l[2] + 3 l[1] l[3] cos(a[3]) l[2] l[4] 2 2 cos(a[2]) cos(a[1]) sin(a[2]) cos(a[4]) sin(a[1]) - 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1/2 (-2 / 3 3 2 3 2 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] 3 3 2 2 3 sin(a[4]) l[2] + cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] cos(a[4]) l[4] 3 3 3 l[2] cos(a[3]) sin(a[2]) - 2 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] 2 3 4 3 cos(a[4]) l[4] cos(a[3]) l[2] sin(a[4]) - cos(a[1]) 2 2 3 3 3 cos(a[2]) l[1] cos(a[4]) l[4] l[2] cos(a[3]) sin(a[2]) 3 3 - 4 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) 2 3 3 3 l[4] sin(a[4]) l[2] + 2 l[3] sin(a[2]) cos(a[3]) l[1] 2 3 2 2 3 cos(a[4]) cos(a[1]) l[4] cos(a[2]) l[2] - 2 cos(a[1]) 3 3 3 3 cos(a[2]) l[1] cos(a[4]) l[4] cos(a[3]) sin(a[4]) l[2] + 3 3 3 2 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] cos(a[4]) l[4] cos(a[3]) 3 3 3 3 2 sin(a[4]) l[2] + 7 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] sin(a[4]) cos(a[3]) l[2] + 2 l[3] sin(a[2]) 3 3 3 2 2 2 cos(a[3]) l[2] l[1] cos(a[1]) cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) 2 3 2 3 2 + 10 l[3] cos(a[3]) l[1] cos(a[2]) l[4] sin(a[1]) 2 2 2 3 2 cos(a[4]) l[2] cos(a[1]) - 4 l[3] cos(a[3]) l[1] 2 2 2 cos(a[2]) l[4] sin(a[1]) cos(a[4]) l[2] cos(a[1]) - 8 2 3 2 3 2 2 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] 2 2 3 2 sin(a[1]) l[2] + 8 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] 2 2 2 2 cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] sin(a[1]) l[2] - 6 l[3] 3 3 3 2 sin(a[2]) cos(a[3]) l[1] cos(a[1]) cos(a[4]) l[4] 2 2 3 3 2 cos(a[2]) l[2] + 10 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] 2 3 2 cos(a[4]) l[4] cos(a[3]) l[2] sin(a[1]) - 6 cos(a[1]) 3 3 2 2 cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] cos(a[3]) l[2] 2 3 2 2 sin(a[1]) - 8 l[3] sin(a[2]) cos(a[3]) l[2] l[1] 3 2 2 3 cos(a[1]) cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) - sin(a[2]) cos(a[3]) 4 2 2 3 2 l[2] l[1] l[4] cos(a[4]) cos(a[1]) cos(a[2]) - 3 3 3 2 2 3 2 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[3]) l[2] l[4] 3 3 2 2 cos(a[4]) sin(a[4]) + 3 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] 2 3 cos(a[3]) l[2] l[4] cos(a[4]) sin(a[4]) - 2 cos(a[1]) 3 2 2 3 cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] sin(a[4]) cos(a[3]) 2 2 3 3 l[2] - 4 l[3] cos(a[3]) l[1] l[2] l[4] cos(a[2]) 2 2 3 3 cos(a[1]) cos(a[4]) sin(a[1]) + 2 cos(a[1]) cos(a[2]) 2 2 3 l[1] cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] sin(a[4]) l[2] + 2 2 3 2 3 2 2 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] 3 2 3 2 sin(a[1]) l[2] - 2 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] cos(a[3]) 2 2 3 2 3 cos(a[4]) l[4] sin(a[1]) l[2] + 2 cos(a[1]) cos(a[2]) 2 3 3 3 l[1] cos(a[4]) l[4] sin(a[1]) cos(a[3]) l[2] - 2 2 3 2 3 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] cos(a[4]) l[4] sin(a[1]) 3 2 3 2 2 cos(a[3]) l[2] - 4 l[3] cos(a[3]) l[2] l[1] l[4] 2 2 3 cos(a[2]) cos(a[1]) cos(a[4]) sin(a[1]) - 6 l[3] sin(a[2]) 3 2 3 2 2 cos(a[3]) l[2] l[1] cos(a[1]) cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) 3 3 3 2 - 2 l[2] sin(a[1]) cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) l[1] 2 2 3 3 2 cos(a[4]) cos(a[1]) l[4] - cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] 3 3 2 cos(a[4]) l[4] cos(a[3]) l[2] sin(a[4]) - cos(a[1]) l[3] 3 2 2 2 2 sin(a[2]) cos(a[3]) l[2] l[1] cos(a[4]) cos(a[2]) l[4] 3 3 3 - 4 l[2] sin(a[1]) cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) l[1] 2 2 2 3 3 3 cos(a[1]) cos(a[4]) l[4] + 5 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] 3 2 3 l[3] cos(a[4]) l[4] sin(a[4]) cos(a[3]) l[2] - 5 cos(a[1]) 3 3 cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] sin(a[4]) cos(a[3]) 2 3 3 3 2 l[2] - 7 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] 3 2 3 2 sin(a[4]) cos(a[3]) l[2] - 6 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] 2 2 2 2 l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] sin(a[1]) l[2] + 8 l[2] 3 2 3 2 2 sin(a[1]) cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) l[1] cos(a[1]) 2 3 3 2 cos(a[4]) l[4] + 15 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] 3 2 2 3 cos(a[3]) l[2] l[4] cos(a[4]) sin(a[4]) - 15 cos(a[1]) 3 2 2 2 cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[3]) l[2] l[4] cos(a[4]) 3 3 3 sin(a[4]) + 6 l[2] sin(a[1]) cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) 2 2 2 3 3 l[1] cos(a[1]) cos(a[4]) l[4] + 6 cos(a[1]) cos(a[2]) 2 3 2 2 l[1] l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] sin(a[4]) l[2] - 6 3 3 2 2 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] 2 2 3 2 3 sin(a[4]) l[2] - 2 l[3] cos(a[3]) l[2] l[1] cos(a[2]) 2 2 2 2 3 l[4] sin(a[1]) cos(a[4]) cos(a[1]) - 4 l[3] cos(a[3]) 2 2 2 2 l[2] l[1] cos(a[2]) l[4] sin(a[1]) cos(a[4]) cos(a[1]) - 2 3 2 3 2 10 l[3] sin(a[2]) cos(a[3]) l[1] cos(a[1]) cos(a[4]) 2 2 3 3 3 l[4] cos(a[2]) l[2] + 4 l[2] cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) 2 2 l[1] l[4] cos(a[4]) cos(a[1]) sin(a[4]) + 4 l[3] cos(a[3]) 3 3 2 2 l[2] l[1] cos(a[1]) sin(a[3]) cos(a[4]) cos(a[2]) l[4] + 3 3 3 2 4 l[2] cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) l[1] l[4] cos(a[1]) 3 2 sin(a[4]) cos(a[4]) + 9 l[3] sin(a[2]) cos(a[3]) l[1] 3 2 2 2 2 3 cos(a[1]) cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) l[2] - 3 cos(a[1]) 3 2 3 3 cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] sin(a[4]) cos(a[3]) 3 3 2 3 l[2] + 3 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] 3 3 sin(a[4]) cos(a[3]) l[2] + 6 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] 3 3 2 3 cos(a[4]) l[4] cos(a[3]) sin(a[4]) l[2] - 6 cos(a[1]) 3 3 cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] cos(a[3]) sin(a[4]) 2 3 2 2 3 l[2] + 11 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] 2 3 3 2 l[2] cos(a[3]) sin(a[2]) - 11 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] 2 3 2 l[3] cos(a[4]) l[4] l[2] cos(a[3]) sin(a[2]) + 4 l[3] 2 2 3 2 2 cos(a[3]) l[1] cos(a[1]) sin(a[3]) l[2] cos(a[4]) 2 3 3 2 cos(a[2]) l[4] + 2 l[3] sin(a[2]) cos(a[3]) l[2] l[1] 2 3 2 3 cos(a[4]) cos(a[1]) l[4] cos(a[2]) + 2 cos(a[1]) 3 2 2 cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] sin(a[4]) cos(a[3]) 2 2 3 3 2 l[2] - 2 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] 3 2 2 3 3 cos(a[3]) l[2] sin(a[1]) + 2 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] 2 2 2 l[3] cos(a[4]) l[4] cos(a[3]) l[2] sin(a[1]) + 4 l[3] 2 2 3 cos(a[3]) l[2] l[1] cos(a[1]) cos(a[2]) sin(a[3]) 2 2 2 3 cos(a[4]) l[4] - 6 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] 2 3 3 2 2 cos(a[4]) l[4] sin(a[1]) cos(a[3]) l[2] + 6 cos(a[1]) 3 2 3 cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] sin(a[1]) cos(a[3]) 2 3 3 3 2 l[2] - 3 l[2] cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) l[1] l[4] 3 3 2 cos(a[1]) sin(a[4]) cos(a[4]) - sin(a[2]) cos(a[3]) l[1] 3 2 2 3 2 l[2] l[4] cos(a[4]) cos(a[1]) cos(a[2]) + 3 3 2 3 3 4 sin(a[3]) cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] cos(a[4]) l[4] l[2] 3 2 3 + 6 sin(a[3]) cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] l[4] 2 2 cos(a[4]) cos(a[3]) sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) - 5 sin(a[3]) 2 2 2 2 2 2 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] 2 3 2 sin(a[1]) l[2] sin(a[2]) - 2 sin(a[3]) cos(a[1]) cos(a[2]) 3 2 3 l[1] l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) - 3 3 2 2 10 sin(a[3]) cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] cos(a[4]) l[4] 2 3 2 3 cos(a[3]) l[3] l[2] + 6 sin(a[3]) cos(a[1]) cos(a[2]) 2 2 2 2 l[1] l[3] l[4] sin(a[1]) cos(a[4]) cos(a[3]) l[2] 2 3 3 2 sin(a[4]) + 6 sin(a[3]) cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] 2 cos(a[3]) l[2] l[4] sin(a[1]) cos(a[4]) sin(a[4]) - 6 3 2 2 2 2 sin(a[3]) cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] l[4] cos(a[4]) 2 2 cos(a[3]) sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) + 6 sin(a[3]) cos(a[1]) 3 2 2 3 cos(a[2]) l[1] cos(a[3]) l[2] l[4] l[3] sin(a[1]) 3 3 2 cos(a[4]) sin(a[4]) + 9 sin(a[3]) cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] 2 2 3 cos(a[4]) l[4] cos(a[3]) l[3] l[2] + 4 sin(a[3]) 3 2 2 2 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] 3 3 3 sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) + 5 sin(a[3]) cos(a[1]) cos(a[2]) 2 2 2 2 2 l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] cos(a[3]) l[2] + 2 cos(a[1]) 2 3 2 3 2 2 l[3] sin(a[2]) cos(a[3]) l[2] l[1] cos(a[4]) cos(a[2]) 2 3 2 2 + 8 cos(a[1]) l[3] sin(a[2]) cos(a[3]) l[2] l[1] l[4] 2 2 3 cos(a[2]) cos(a[4]) - 4 l[3] sin(a[2]) cos(a[3]) l[2] 2 2 3 2 3 l[1] cos(a[4]) cos(a[1]) l[4] cos(a[2]) - 2 l[3] 3 2 3 2 sin(a[2]) cos(a[3]) l[2] l[1] l[4] cos(a[1]) cos(a[4]) + 3 2 3 2 4 l[3] sin(a[2]) cos(a[3]) l[2] l[1] cos(a[1]) cos(a[4]) 2 3 l[4] cos(a[2]) - 6 l[3] sin(a[2]) cos(a[3]) l[2] l[1] 3 2 2 2 cos(a[1]) cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) - 8 sin(a[3]) 2 3 2 3 2 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] cos(a[3]) l[2] l[4] l[3] sin(a[1]) cos(a[4]) sin(a[4]) + 4 cos(a[1]) l[3] sin(a[2]) 3 3 2 2 2 cos(a[3]) l[2] l[1] l[4] cos(a[2]) cos(a[4]) + 2 3 3 2 cos(a[1]) l[3] sin(a[2]) cos(a[3]) l[2] l[1] l[4] 2 2 3 cos(a[4]) cos(a[2]) + 2 cos(a[1]) l[3] sin(a[2]) cos(a[3]) 2 2 2 3 l[1] l[2] cos(a[4]) cos(a[2]) l[4] - 2 sin(a[3]) 3 2 2 2 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] 4 sin(a[4]) l[2] sin(a[2]) + 2 cos(a[1]) l[3] sin(a[2]) 3 3 2 2 3 cos(a[3]) l[2] cos(a[4]) cos(a[2]) l[4] + 3 3 3 3 2 2 l[3] sin(a[2]) cos(a[3]) l[2] l[4] cos(a[1]) cos(a[4]) 3 3 2 2 + 3 sin(a[3]) cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] cos(a[4]) l[4] 2 4 2 3 2 cos(a[3]) l[2] + 3 sin(a[3]) cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] 2 3 2 cos(a[3]) l[2] l[4] sin(a[1]) cos(a[4]) sin(a[4]) - 3 3 2 4 2 sin(a[3]) cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] cos(a[3]) l[2] l[4] 2 3 2 + 6 cos(a[1]) l[3] sin(a[2]) cos(a[3]) l[2] l[1] 2 2 2 2 cos(a[4]) cos(a[2]) l[4] + 3 sin(a[3]) cos(a[1]) 3 2 4 2 cos(a[2]) l[1] cos(a[3]) l[2] l[4] sin(a[4]) sin(a[1]) 3 3 2 cos(a[4]) - 4 l[3] sin(a[2]) cos(a[3]) l[2] l[1] cos(a[2]) 2 2 l[4] sin(a[1]) cos(a[4]) cos(a[1]) sin(a[4]) + 2 sin(a[3]) 2 2 2 2 3 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] 3 2 3 sin(a[1]) l[2] sin(a[2]) - 2 l[2] sin(a[1]) cos(a[2]) 2 3 3 2 l[3] cos(a[3]) l[1] cos(a[1]) + 4 3 3 2 2 2 l[2] sin(a[1]) cos(a[2]) cos(a[3]) l[1] cos(a[1]) l[4] 3 3 2 + 2 l[2] sin(a[1]) cos(a[2]) l[3] cos(a[3]) l[1] l[4] 2 2 2 3 2 cos(a[1]) cos(a[4]) - 2 l[2] sin(a[1]) cos(a[2]) l[3] 3 3 2 2 3 cos(a[3]) l[1] cos(a[4]) - 4 l[2] sin(a[1]) cos(a[2]) 2 3 2 2 l[3] cos(a[3]) l[1] l[4] cos(a[4]) - 3 4 3 2 2 2 sin(a[2]) cos(a[3]) l[2] l[1] cos(a[1]) cos(a[2]) l[4] 3 3 2 2 - 4 l[3] sin(a[2]) cos(a[3]) l[2] l[1] l[4] cos(a[2]) 2 cos(a[1]) sin(a[4]) sin(a[1]) cos(a[4]) - 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13 l[3] sin(a[2]) cos(a[3]) l[1] cos(a[1]) 2 2 2 2 3 cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) l[2] + 3 sin(a[3]) cos(a[1]) 3 2 3 2 3 2 cos(a[2]) l[1] cos(a[4]) l[4] cos(a[3]) l[2] + 8 l[3] 2 3 2 2 sin(a[2]) cos(a[3]) l[1] cos(a[1]) cos(a[4]) l[4] 2 4 2 cos(a[2]) l[2] - sin(a[2]) cos(a[3]) l[2] l[1] l[4] 2 3 2 2 cos(a[4]) cos(a[1]) cos(a[2]) + 2 cos(a[1]) l[3] 3 2 2 2 2 sin(a[2]) cos(a[3]) l[1] l[2] cos(a[4]) cos(a[2]) l[4] 2 3 2 2 - 8 sin(a[3]) cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] l[3] cos(a[3]) 3 l[2] l[4] sin(a[4]) sin(a[1]) cos(a[4]) - 4 l[3] sin(a[2]) 3 2 2 2 2 cos(a[3]) l[1] cos(a[2]) l[4] sin(a[1]) cos(a[4]) l[2] 2 3 3 cos(a[1]) sin(a[4]) + 2 sin(a[3]) cos(a[1]) cos(a[2]) 3 2 2 l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] l[2] - 4 l[3] sin(a[2]) 3 3 2 2 2 cos(a[3]) l[1] l[2] l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) sin(a[4]) 2 2 sin(a[1]) cos(a[4]) - 5 l[3] sin(a[2]) cos(a[3]) l[2] l[1] 3 2 2 2 cos(a[1]) cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) - 3 sin(a[3]) 2 3 2 2 2 2 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] cos(a[3]) l[2] l[4] l[3] 3 sin(a[1]) cos(a[4]) sin(a[4]) - 13 sin(a[3]) cos(a[1]) 3 2 2 2 2 2 cos(a[2]) l[1] cos(a[4]) l[4] cos(a[3]) l[3] l[2] + 2 4 3 3 2 2 l[2] sin(a[1]) cos(a[2]) cos(a[3]) l[1] l[4] cos(a[4]) 2 3 3 2 cos(a[1]) + 2 cos(a[1]) cos(a[2]) l[1] cos(a[4]) l[4] 4 / 2 2 cos(a[3]) l[2] sin(a[4])) / (l[1] cos(a[3]) %1) / 2 2 3 2 2 %1 := -l[1] cos(a[1]) cos(a[3]) l[2] cos(a[2]) l[4] 2 3 2 2 2 - l[1] l[3] l[4] cos(a[1]) cos(a[4]) cos(a[3]) 3 2 2 2 2 + l[1] l[3] cos(a[3]) l[2] cos(a[4]) cos(a[2]) 2 2 2 2 2 + 2 l[1] l[3] cos(a[3]) l[2] l[4] cos(a[2]) cos(a[4]) 2 2 2 2 2 + 2 l[1] l[3] l[2] l[4] cos(a[3]) cos(a[2]) cos(a[4]) 3 2 2 2 2 + l[3] l[4] cos(a[1]) cos(a[4]) cos(a[3]) l[2] 3 2 2 2 2 + l[1] l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) l[2] cos(a[2]) 2 2 2 2 2 + l[1] l[3] l[2] l[4] cos(a[3]) cos(a[4]) cos(a[2]) + 2 2 2 2 l[1] l[3] cos(a[1]) sin(a[3]) cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] 2 cos(a[2]) sin(a[4]) l[2] 2 2 2 2 2 - l[1] l[3] cos(a[1]) cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) l[2] 2 2 2 2 2 - 2 l[1] l[3] cos(a[1]) cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) l[2] 2 2 2 2 2 - 2 l[1] l[3] cos(a[1]) cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) l[2] 2 3 2 2 2 - l[1] l[3] cos(a[1]) cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) 2 2 2 2 2 - l[1] l[3] cos(a[4]) cos(a[1]) l[4] cos(a[2]) l[2] 3 2 2 2 2 - l[1] l[2] l[4] cos(a[4]) cos(a[1]) cos(a[2]) - 2 2 2 2 l[1] l[3] cos(a[3]) l[2] l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) 2 2 2 sin(a[2]) cos(a[4]) sin(a[1]) - 2 l[1] l[3] cos(a[3]) 2 2 l[2] l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) sin(a[4]) sin(a[1]) cos(a[4]) 2 2 2 + 2 l[1] l[3] cos(a[4]) cos(a[1]) l[4] cos(a[2]) 2 2 2 sin(a[3]) cos(a[3]) l[2] sin(a[4]) + 2 l[1] l[3] cos(a[1]) 2 2 cos(a[2]) sin(a[3]) cos(a[4]) l[4] cos(a[3]) sin(a[2]) l[2] 2 2 2 - 2 l[1] l[3] cos(a[2]) l[4] sin(a[1]) cos(a[4]) 2 2 cos(a[3]) l[2] sin(a[2]) cos(a[1]) - 2 l[1] l[3] cos(a[2]) 2 2 2 l[4] sin(a[1]) cos(a[4]) cos(a[3]) l[2] cos(a[1]) 2 2 2 sin(a[4]) + 2 l[1] l[3] cos(a[1]) sin(a[3]) l[2] cos(a[4]) 2 cos(a[2]) l[4] sin(a[2]) cos(a[3]) 2 2 2 2 2 + l[1] l[3] cos(a[3]) l[2] cos(a[4]) cos(a[2]) l[4] 2 2 2 2 3 + l[3] cos(a[3]) l[2] cos(a[4]) cos(a[2]) l[4] 2 3 2 %2 := l[1] l[3] cos(a[2]) l[4] sin(a[1]) cos(a[4]) cos(a[3]) 2 l[2] cos(a[1]) sin(a[4]) 3 3 2 2 2 %3 := l[1] l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) l[2] cos(a[2]) 3 3 2 2 2 %4 := l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) 2 3 2 2 2 %5 := l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) l[2] 3 2 2 2 2 %6 := l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) l[2] 2 3 2 2 3 %7 := l[1] cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) l[2] 2 2 2 2 2 %8 := l[1] l[3] cos(a[3]) l[2] cos(a[1]) l[4] cos(a[2]) sin(a[1]) cos(a[4]) sin(a[4]) 2 2 3 2 %9 := l[1] cos(a[1]) sin(a[3]) l[3] cos(a[4]) cos(a[2]) l[4] sin(a[4]) cos(a[3]) l[2] 2 2 2 2 2 %10 := l[1] l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) sin(a[1]) l[2] cos(a[1]) sin(a[2]) 2 2 2 2 %11 := l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) sin(a[3]) 2 l[2] cos(a[3]) sin(a[2]) 2 2 2 2 2 %12 := l[1] l[3] cos(a[3]) l[2] cos(a[1]) l[4] cos(a[2]) sin(a[3]) cos(a[4]) sin(a[4]) 2 2 2 2 %13 := l[1] l[3] cos(a[4]) cos(a[1]) l[4] cos(a[2]) sin(a[3]) 2 cos(a[3]) l[2] sin(a[4]) 2 2 2 2 %14 := l[1] l[3] cos(a[3]) l[2] l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) 2 sin(a[2]) cos(a[4]) sin(a[1]) 2 2 3 2 2 %15 := l[1] l[3] cos(a[1]) cos(a[3]) l[2] cos(a[2]) l[4] 3 2 2 %16 := l[1] l[3] cos(a[3]) l[2] l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) 2 sin(a[2]) cos(a[4]) sin(a[1]) 2 2 2 2 2 %17 := l[1] cos(a[3]) l[2] cos(a[1]) l[4] cos(a[2]) l[3] sin(a[1]) cos(a[4]) sin(a[4]) 2 3 2 2 2 %18 := l[1] l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] cos(a[1]) l[2] 3 2 2 2 2 %19 := l[1] l[3] cos(a[3]) l[2] cos(a[1]) l[4] cos(a[2]) 3 3 2 2 2 %20 := l[1] l[3] cos(a[3]) l[2] cos(a[4]) cos(a[2]) 2 2 3 2 3 %21 := l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] cos(a[1]) l[2] 2 3 2 2 3 %22 := l[3] cos(a[2]) l[4] cos(a[4]) cos(a[3]) l[2] 3 3 2 2 2 %23 := l[1] l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] cos(a[1]) 2 2 3 2 2 %24 := l[1] l[3] cos(a[3]) cos(a[4]) l[4] cos(a[1]) l[2] 2 3 2 2 2 %25 := l[1] l[3] cos(a[3]) l[2] l[4] cos(a[2]) cos(a[4]) 2 2 3 2 3 %26 := l[1] cos(a[1]) cos(a[3]) l[2] cos(a[2]) l[4] 2 2 2 2 %27 := l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) sin(a[3]) 2 l[2] cos(a[3]) sin(a[2]) 2 3 2 2 2 %28 := l[1] l[3] cos(a[3]) l[2] cos(a[4]) cos(a[2]) l[4] 2 2 2 %29 := l[1] l[3] cos(a[4]) l[4] cos(a[2]) cos(a[1]) sin(a[3]) 3 l[2] sin(a[2]) cos(a[3]) > > > > > > > > > Now here are the coefficients collected with respect to side lengths > collect(dmueqn2,{l[1],l[2],l[3],l[4]}): > collect(dmueqn1,{l[1],l[2],l[3],l[4]}): > collect(dmueqn0,{l[1],l[2],l[3],l[4]}): > disc:=simplify(dmueqn1^2-4*dmueqn2*dmueqn0): disc is the expression for the discriminant in the quadratic equation. It takes up about 2 pages. Note that it has the factor: > disfactor:=l[3]^3*l[1]^3*l[2]*l[4]*16*cos(a[2])^3*cos(a[3])^3*cos(a[1])*cos(a[4])*(l[1]+l[4]+l[2]+l[3]); 3 3 3 3 disfactor := 16 l3 l1 l2 l4 cos(a2) cos(a3) cos(a1) cos(a4) (l1 + l4 + l2 + l3) which pulls out of it. What is left is of deg 9 in side lengths and degree 8 in trigonometric functions. It is this expression that I'm hoping ya'll can simplify. In dealing with the equation for p[3,2] I now work only with dmueqn2,dmueqn1 and disc using the quadratic formula. I print out the expressions for disc in the maple worksheet disc040505.mws. > > defform(A=0,B=0,C=0,DD=0):d((-B+sqrt(DD))/2*A); / 1/2\ | DD | A d(DD) -1/2 A d(B) + |- B/2 + -----| d(A) + 1/4 ------- \ 2 / 1/2 DD > sqdisc:=sqrt(disc): dmuplus is an expression for dp[3,2] without explicitly solving for p[3,2] obtained by taking the derivative of the solution in the quadratic formula (with the positive root), I then get an expression involving our base variables and p[3,2] which must be equal to the previously solved for d(p[3,2])=p[3,2,1]eta[1]+p322eta[2]. > dmuplus:=-(1/2)*dmueqn2*d(dmueqn1)+ (dmueqn2*d(disc))/(4*sqdisc) > +(-dmueqn1/2+ sqdisc/2)*d(dmueqn2):xxx; > dmuplus:=simpform(subs(I2,subs(dallsubs,dmuplus))):yyy; > xxx yyy >